Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari: differenze tra le versioni

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== Problemi che si risolvono con sistemi di grado superiore al primo ==
 
Riprendiamo un problema già discusso. Considerare più variabili ci permette di facilitare il processo di traduzione in linguaggio matematico.
 
{{Algebra1/Problema| Il trapezio isoscele <math>ABCD</math> è inscritto in una semicirconferenza di diametro <math>AB</math> di misura <math>25\text{cm}</math>; determinare le misure dei lati del trapezio sapendo che il perimetro è <math>62\text{cm}.</math><br /><br />
 
[[File:Algebra2 sistnlin fig011 trap.svg|right|Trapezio inscritto inuna semicirconferenza]]
''Dati'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}\overline{AB}=25\text{; }2p=62;\\
AB\parallel CD\text{; }AD\equiv BC\end{array}\right..</math><br />
 
''Obiettivo'':&nbsp;<math>\overline{CB}</math>; <math>\overline{CD}.</math><br />
 
''Dati impliciti'': <math>\left\{\begin{array}{l}
\overline{KO}=\overline{CH}\text{; }\overline{CO}=\tfrac{25} 2;\\ \overline{KC}=\tfrac{\overline{DC}} 2\text{; }\overline{HB}=\tfrac{25-y} 2;\\ \widehat{CKO}=90\text{°}\text{; }\widehat{CHB}=90\text{°}.\end{array}\right.</math><br />
 
''Incognite'':&nbsp;<math>\overline{CB}=x</math>; <math>\overline{CD}=y.</math><br />
 
''Vincoli:'' <math>\left\{\begin{array}{l}0<x<\tfrac{25} 2\sqrt 2\\0<y<25 \end{array}\right..</math><br />
 
''Relazioni tra dati e incognite'':&nbsp;<math> \left\{\begin{array}{l}{y+2x+25=62}\\{\left(\tfrac{25} 2\right)^2-\left(\tfrac y 2\right)^2=x^2-\left(\tfrac{25-y} 2\right)^2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y=-2x+37}\\{x^2-25x+150=0}\end{array}\right..</math><br />
 
''Soluzioni:'' <math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=15}\\{y_1=7}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=10}\\{y_2=17}\end{array}\right..</math><br />
 
''Verifica:'' Entrambe le soluzioni sono accettabili.<br />
 
La risoluzione del problema si basa sull’equazione di primo grado <math>y+2x+25=62</math> che definisce il perimetro, sulla congruenza dei segmenti <math>\overline{KO}</math> e <math>\overline{CH}</math> facilmente dimostrabile in quanto stessa distanza tra due rette parallele, l’applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli <math>CKB</math> e <math>CHB</math>, rettangoli per costruzione. Naturalmente tutte le informazioni ausiliare vanno dimostrate, ma data la loro facilità le lasciamo al lettore.<br />
 
Importante è impostare le condizioni sulle incognite che devono essere maggiori di <math>0</math> ma anche <math>x<\tfrac{25} 2\sqrt 2</math> perché il trapezio non diventi un triangolo (<math>\overline{BC} < \overline{BE}</math>) e <math>y<25</math> perché la base minore sia realmente minore (<math>\overline{CD} < \overline{AB}</math>). L’ultimo passo consiste nella verifica delle soluzioni, che nel nostro caso sono entrambe accettabili. Si hanno dunque due trapezi inscritti in quella semicirconferenza che avranno il perimetro di <math>62\text{cm}</math>.
}}
 
{{Algebra1/Problema| L’azienda Profit intende fare una ristrutturazione riducendo il numero degli operai. Oggi spende per essi (tutti con lo stesso stipendio) €.&nbsp;<math>800</math> al giorno. Se si licenziassero 5 dipendenti e si riducesse lo stipendio di €.&nbsp;<math>2</math> al giorno si avrebbe un risparmio giornaliero di €.&nbsp;<math>200</math>. Quanti sono gli operai attualmente occupati nell’azienda?<br /><br />
 
''Dati'':&nbsp;<math> \left\{\begin{array}{l}
\text{spesa per salari al giorno}=\text{€.}800;\\
\text{riduzione salario giornaliero}=\text{€.}2;\\
\text{riduzione numero operai}=5\text{ unità};\\
\text{risparmio dopo il licenziamento e la riduzione di stipendio}=\text{€.}200.
\end{array}\right.</math><br />
 
''Obiettivo'':&nbsp;numero operai occupati prima della ristrutturazione<br />
 
''Incognite'':&nbsp;<math> \left\{\begin{array}{l}
x =\text{numero operai prima della ristrutturazione};\\
y= \text{salario percepito da ogni operaio prima della ristrutturazione}.
\end{array}\right.</math><br />
 
''Vincoli'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{N}\\y\in \mathbb{R}^+\end{array}\right.</math><br />
 
''Altre Informazioni'':&nbsp;<math> \left\{\begin{array}{l}
\text{Numero operai dopo la ristrutturazione} = x-5;\\
\text{salario dopo la ristrutturazione} =y-2;\\
\text{spesa per stipendi dopo la ristrutturazione} =800-200=\text{€.}600.\end{array}\right.</math><br />
 
''Relazioni tra dati e incognite'':&nbsp; <math>\left\{\begin{array}{l}{{xy}=800}\\{(x-5)(y-2)=600}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{{xy}=800}\\{{xy}-2x-5y+10=600}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{{xy}=800}\\{2x+5y=210}\end{array}\right.</math><br />
 
''Soluzioni'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=25}\\{y_1=32}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=80}\\{y_2=10}\end{array}\right.</math><br />
 
''Verifica'':&nbsp;Entrambe le soluzioni sono accettabili.<br />
 
Naturalmente c’è una grande differenza tra percepire <math>32\, \text{€./giorno}</math> di salario o <math> 10\, \text{€./giorno}</math>, come avere impiegati <math>25</math> o <math>80</math> operai. Il problema va meglio definito. Sarebbe sufficiente un vincolo che ci dice qual è la paga minima giornaliera di un operaio.
}}
 
{{Algebra1/Problema| Un numero <math>k\in \mathbb{N}</math> è composto da tre cifre. Il prodotto delle tre cifre è <math>42</math>. Se si scambia la cifra delle decine con quella delle centinaia si ottiene un numero che supera <math>k</math> di <math>360</math>. Se si scambia la cifra della unità con quella delle centinaia si ottiene un numero minore di <math>99</math> rispetto al numero <math>k</math>. Trovare <math>k</math>.<br /><br />
 
''Dati'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}
\text{il numero } k \text{ è composto da tre cifre};\\
\text{prodotto delle tre cifre} = 42;\\
\text{scambiando la cifra delle decine con quella delle centinaia si ha }l=k+360; \\
\text{scambiando la cifra delle unità con quella delle centinaia si ha }m=k-99.\\
\end{array}\right.</math><br />
 
''Obiettivo'':&nbsp;trovare il numero <math>k.</math><br />
 
''Incognite'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}
x=\text{ cifra che rappresenta il numero delle centinaia;}\\
y=\text{ cifra che rappresenta il numero delle decine;}\\
z=\text{ cifra che rappresenta il numero delle unità.}
\end{array}\right.</math><br />
 
''Vincoli'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}x\in \{1\text{, }2\text{, }3\text{, }4\text{, }5\text{, }6\text{, }7\text{, }8\text{, }9\} \\y\text{, }z\in \{0\text{, }1\text{, }2\text{, }3\text{, }4\text{, }5\text{, }6\text{, }7\text{, }8\text{, }9\}\end{array}\right.</math>.<br />
 
''Altre Informazioni'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}
k=100x+10y+z;\\
l=100y+10x+z;\\
m=100z+10y+x.
\end{array}\right.</math><br />
 
''Relazioni tra dati e incognite'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}x\cdot y\cdot z=42 \\100y+10x+z=100x+10y+z+360\\100z+10y+x=100x+10y+z-99 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\cdot y\cdot z=42 \\x-y=-4\\x-z=1\end{array}\right..</math><br />
 
''Soluzioni'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}x_1=3\\y_1=7\\z_1=2\end{array}\right.</math>.<br />
 
''Verifica'':&nbsp;La soluzione soddisfa le condizioni, il numero cercato è <math>372</math>.
}}