Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Riga 523:
== Sistemi omogenei di quarto grado ==
{{Algebra1/Definizione| Un sistema si dice ''omogeneo'' se le equazioni, con l’eccezione dei termini noti, hanno tutti i termini con lo stesso grado. }}
I sistemi omogenei di quarto grado sono quindi nella forma:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1}\\{a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2}\end{array}\right..</math>
}}<br />
'''Primo caso''' 
<math>d_1=0 \;\wedge\; d_2=0</math>.
Il sistema si presenta nella forma <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=0}\\{a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=0}\end{array}\right..</math> Un sistema di questo tipo ha sempre almeno la soluzione nulla <math>(0;0)</math>.
Per trovare le altre soluzioni del sistema poniamo <math>y=tx</math> e sostituendo abbiamo:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1tx^2+c_1t^2x^2=0}\\{a_2x^2+b_2tx^2+c_2t^2x^2=0}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x^2(a_1+b_1t+c_1t^2)=0}\\{x^2(a_2+b_2t+c_2t^2)=0}\end{array}\right..</math>
}}
Supponendo <math>x\neq 0</math>, cioè <math>x\in \mathbb{R}_0</math>, possiamo dividere le due equazioni per <math>x^2</math>, otteniamo così due equazioni nell’incognita <math>t</math> che possiamo risolvere. Se le due equazioni ammettono qualche soluzione comune allora il sistema ammette infinite soluzioni. Le soluzioni sono del tipo <math>x=k</math> e <math>y={kt}</math>, dove <math>t</math> è la soluzione comune di cui si è detto prima.
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2-3{xy}+2y^2=0 \\-x^2+5{xy}-6y^2=0 \end{array}\right..</math><br />
Applicando la sostituzione <math>y={tx}</math>, il sistema diventa <math>\left\{\begin{array}{l}x^2-3{tx}^2+2t^2x^2=0 \\-x^2+5{tx}^2-6t^2x^2=0 \end{array}\right..</math><br />
Dividendo per <math>x^2</math> otteniamo <math>\left\{\begin{array}{l}1-3t+2t^2=0 \\1-5t+6t^2=0 \end{array}\right..</math><br />
La prima equazione ha radici <math>t_1=1</math> e <math>t_2=\tfrac 1 2</math>, mentre la seconda equazione ha radici <math>t_3=\tfrac 1 2</math> e <math>t_4=\tfrac 1 3</math>. Le due equazioni hanno una radice in comune <math>t=\tfrac 1 2.</math><br />
Pertanto, oltre alla soluzione <math>(0;0)</math>, il sistema ammette infinite soluzioni che possono essere scritte nella forma <math>\left\{\begin{array}{l}x=k \\y=\tfrac 1 2k \end{array}\right.</math> con <math>k\in\mathbb{R}_0</math>.
}}<br />
'''Secondo caso''' 
<math>d_1=0 \;\wedge\; d_2\neq 0</math>.
Il sistema si presenta nella forma <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=0}\\{a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2}\end{array}\right..</math>
Ponendo <math>y=tx</math> si ha <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1tx^2+c_1t^2x^2=0}\\{a_2x^2+b_2tx^2+c_2t^2x^2=d_2}\end{array}\right.</math>.
Dividendo per <math>x^2</math> la prima equazione (<math>\text{C.E.}\, x\in\mathbb{R}_0</math>) si ha <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1+{b_1t}+{c_1t}^2=0}\\{x^2(a_2+b_2t+c_2t^2)=d_2}\end{array}\right..</math>
Si risolve la prima equazione nell’incognita <math>t</math>; si sostituiscono i valori trovati nella seconda equazione e si ricavano i valori di <math>x</math> e di seguito i valori di <math>y</math> con <math>y=tx</math>.
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2-{xy}-6y^2=0 \\-x^2+2{xy}-3y^2=-6 \end{array}\right..</math><br />
Sostituendo <math>y=tx</math> il sistema diventa
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}1-t-6t^2=0 \\x^2(-1+2t-3t^2)=-6 \end{array}\right..</math>
}}
La prima equazione ha radici <math>t_1=\tfrac 1 3</math> e <math>t_2=-\tfrac 1 2</math>.<br />
Sostituendo <math>t=\tfrac 1 3</math> nella seconda equazione si ha <math>x_{1\text{,}2}=\pm 3</math> e sapendo che <math>y=tx</math> si ottengono le coppie
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x_1=3\\y_1=1\end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}x_2=-3\\y_2=-1\end{array}\right..</math>
}}
Sostituendo <math>t=-\tfrac 1 2</math> si ha <math>x_3=-\tfrac{2\sqrt 6}{11}\vee x_4=\tfrac{2\sqrt 6}{11}</math> e sapendo che <math>y={tx}</math> si ottengono le coppie
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x_3=-\tfrac{2\sqrt 6}{11}\\y_3=\tfrac{\sqrt 6}{11}\end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}x_4=-2\tfrac{\sqrt 6}{11}\\y_4=-\tfrac{\sqrt 6}{11}\end{array}\right..</math>
}}
L’insieme soluzione del sistema è quindi
{{Testo centrato|
<math>\text{I.S.}=\left\{(x_1;y_1)\text{, }(x_2;y_2)\text{, }(x_3;y_3)\text{, }(x_4;y_4)\right\}.</math>
}}
}}<br />
'''Terzo caso''' 
<math>d_1\neq 0 \;\wedge\; d_2\neq 0</math>.
Il sistema si presenta nella forma <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d}\\{a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2}\end{array}\right..</math>
Ponendo <math>y=tx</math> si ha <math>\left\{\begin{array}{l}{x^2(a_1+b_1t+c_1t^2)=d_1}\\{x^2(a_2+b_2t+c_2t^2)=d_2}\end{array}\right..</math>
Dividendo membro a membro le due equazioni, sotto la condizione <math>x\neq 0\;\wedge\; a_2+b_2t+c_2t^2\neq 0</math>, otteniamo
{{Testo centrato|
<math>\begin{aligned}
&\tfrac{a_1+b_1t+c_1t^2}{a_2+b_2t+c_2t^2}=\tfrac {d_1}{d_2}\\
\Rightarrow & d_2(a_1+b_1t+c_1t^2)=d_1(a_2+b_2t+c_2t^2)\\
\Rightarrow & (c_1d_2-c_2d_1)t^2+(b_1d_2-b_2d_1)t+a_1d_2-a_2d_1=0 \end{aligned}</math>
}}
che è una equazione di secondo grado nell’incognita <math>t.</math><br />
Se l’equazione ha come soluzioni <math>t_1</math> e <math>t_2</math> dobbiamo poi risolvere i sistemi
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=t_1x \\a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 \end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}y=t_2x \\a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 \end{array}\right..</math>
}}
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2+3{xy}-y^2=-68 \\-2x^2+{xy}+3y^2=88 \end{array}\right..</math><br />
Sostituendo <math>y={tx}</math> il sistema diventa <math>\left\{\begin{array}{l}x^2(1+3t-t^2)=-68 \\x^2(-2+t+3t^2)=88 \end{array}\right..</math><br />
Dividendo membro a membro con la condizione <math>x\neq 0\wedge 3t^2+t-2\neq 0</math>, cioè <math>x\neq 0</math>, <math>t\neq -1</math> e <math>t\neq \tfrac 2 3</math>, si ha <math>\tfrac{1+3t-t^2}{-2+t+3t^2}=-\tfrac{68}{88}</math>, da cui l’equazione <math>29t^2+83t-12=0</math> con radici <math>t_1=\tfrac 4{29}\vee t_2=-3.</math><br />
A questo punto dobbiamo risolvere i due sistemi:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=\tfrac 4{29}x \\-2x^2+{xy}+3y^2=88 \end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}y=-3x \\-2x^2+{xy}+3y^2=88 \end{array}\right..</math>
}}
Il primo sistema è impossibile, il secondo ha soluzioni
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x_1=-2\\y_1=6\end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}x_2=2\\y_2=-6\end{array}\right..</math>
}}
Quindi l’insieme soluzione del sistema è <math>\text{I.S.}=\{(-2;6)\text{, }(2;-6)\}</math>. }}
== Metodo di addizione ==
| |||