Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari: differenze tra le versioni
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=== Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo ===
Introduciamo le seguenti trasformazioni dette ''formule di Waring'',<ref>Edward Waring, matematico inglese (1736 – 1798).
</ref> dal nome del matematico che le ha formulate per primo. Con tali formule, si possono trasformare le potenze di un binomio in relazioni tra somme e prodotti delle due variabili che lo compongono. Indicate come <math>s</math> somma delle variabili e <math>p</math> il loro prodotto, le seguenti sono le prime formule fino alla quinta potenza.
* <math> a^2+b^2=(a+b)^2-2{ab}=s^2-2p </math>;
* <math> a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3{ab}(a+b)=s^3-3{ps} </math>;
* <math> a^4+b^4=s^4-4{ps}^2+2p^2 </math>;
* <math> a^5+b^5=s^5-5{ps}^3+5p^2s </math>.
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x^3+y^3-2{xy}=3}\end{array}\right..</math><br />
Applicando l’identità <math>x^3+y^3=(x+y)^3-3{xy}(x+y)</math>, il sistema può essere riscritto come:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{(x+y)^3-3{xy}(x+y)-2{xy}=3}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{1-5{xy}=3}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{{xy}=-\tfrac 2 5}\end{array}\right..</math>
}}
Da cui l’equazione risolvente <math>t^2-t-\tfrac 2 5=0\Rightarrow 5t^2-5t-2=0</math> con <math>t_1=\tfrac{5-\sqrt{65}}{10}</math> e <math>t_2=\tfrac{5+\sqrt{65}}{10}</math>. Le soluzioni del sistema sono quindi:
{{Testo centrato|
<math>\left(\tfrac{5-\sqrt{65}}{10};\tfrac{5+\sqrt{65}}{10}\right) \vee \left(\tfrac{5+\sqrt{65}}{10};\tfrac{5-\sqrt{65}}{10}\right)</math>.
}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{x^4+y^4=\tfrac 7 2}\end{array}\right..</math>
Ricordando l’identità <math>x^4+y^4=(x+y)^4-4{xy}(x+y)^2+2x^2y^2</math>, il sistema può essere riscritto come:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{(x+y)^4-4{xy}(x+y)^2+2x^2y^2=\tfrac 7 2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{2x^2y^2-4{xy}-\tfrac 5 2=0}\end{array}\right..</math>
}}
Introduciamo l’incognita ausiliaria <math>u=xy</math>. L’equazione <math>2x^2y^2-4{xy}-\tfrac 5 2=0</math> diventa <math>2u^2-4u-\tfrac 5 2=0</math> che ha come soluzioni <math>u_1=-\tfrac 1 2\vee u_2=\tfrac 5 2\Rightarrow {xy}=-\tfrac 1 2\vee {xy}=\tfrac 5 2</math>.<br />
Il sistema assegnato è equivalente all’unione di due sistemi
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{xy}=-\tfrac 1 2}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{xy}=\tfrac 5 2}\end{array}\right.</math>
}}
e dunque il suo insieme soluzione <math>\text{I.S.}</math> si ottiene dall’unione dell’insieme soluzione dei due sistemi <math>\text{I.S.}=\text{I.S.}_1 \cup \text{I.S.}_{2}.</math>
Il primo sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{xy}=-\tfrac 1 2}\end{array}\right.</math> ha equazione risolvente <math>t^2+t-\tfrac 1 2=0</math> con radici
{{Testo centrato|
<math>t_1=\tfrac{-1-\sqrt 3} 2\quad\text{e}\quad t_2=\tfrac{-1+\sqrt 3} 2</math>
}}
e quindi il sistema ha soluzioni
{{Testo centrato|
<math>S_1=\left\{\left(\tfrac{-1-\sqrt 3} 2;\tfrac{-1+\sqrt 3} 2\right) \vee \left(\tfrac{-1+\sqrt 3} 2;\tfrac{-1-\sqrt 3} 2\right)\right\}.</math>}}<br />
Il secondo sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{xy}=\tfrac 5 2}\end{array}\right.</math> ha equazione risolvente <math>t^2+t+\tfrac 5 2=0</math>, che ha <math>\Delta <0</math> e quindi insieme soluzione vuoto. Pertanto anche il sistema non ha soluzioni reali, quindi <math>\text{I.S.}_2=\emptyset</math>. L’insieme soluzione del sistema assegnato <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{x^4+y^4=\tfrac 7 2}\end{array}\right.</math> è dunque <math>\text{I.S.}=\text{I.S.}_1\cup \emptyset=\text{I.S.}_1</math>.
}}
== Sistemi omogenei di quarto grado ==
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