Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari: differenze tra le versioni

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=== Sistemi simmetrici riconducibili al sistema simmetrico fondamentale ===
 
In questa categoria rientrano i sistemi simmetrici che, mediante artifici, possono essere trasformati in sistemi simmetrici del tipo visto nella sezione precedente.
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\{x^2+y^2+{bx}+{by}=c}\end{array}\right..</math><br />
 
È possibile trasformare il sistema in un sistema simmetrico fondamentale. Infatti, ricordando l’identità <math>x^2+y^2=(x+y)^2-2{xy}</math>, il sistema può essere riscritto come:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\
{(x+y)^2-2{xy}+b(x+y)=c}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\
{a^2-2{xy}+{ba}=c}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\
{{xy}=\tfrac{a^2+{ab}-c} 2}\end{array}\right..</math>
}}
 
Posto <math>a=s</math>&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;<math>p=\tfrac{a^2+{ab}-c} 2</math>&nbsp;&nbsp;il sistema diventa
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=s}\\{{xy}=p}\end{array}\right..</math>
}}
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{x^2+y^2=25}\end{array}\right.</math><br />
 
Ricordando l’identità <math>x^2+y^2=(x+y)^2-2{xy}</math>, il sistema può essere riscritto come:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\
{(x+y)^2-2{xy}=25}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\
{(7)^2-2{xy}=25}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\
{-2{xy}=25-49}\end{array}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{{xy}=12}\end{array}\right..</math>
}}
 
L’equazione risolvente è <math>t^2-7t+12=0</math> le cui soluzioni sono <math>t_1=3\vee t_2=4.</math><br />
 
Le soluzioni del sistema sono:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=3}\\
{y_1=4}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=4}\\
{y_2=3}\end{array}\right..</math>
}}
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{-3x-3y=-5}\\{2x^2+2y^2=10}\end{array}\right.</math><br />
 
Dividendo per <math>-3</math> la prima equazione, per <math>2</math> la seconda e ricordando l’identità
<math>x^2+y^2=(x+y)^2-2{xy}</math> si ha:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=\tfrac 5 3}\\
{x^2+y^2=5}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=\tfrac 5 3}\\
{(x+y)^2-2{xy}=5}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=\tfrac 5 3}\\
{\left(\tfrac 5 3\right)^2-2{xy}=5}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=\tfrac 5 3}\\
{{xy}=-\tfrac{10} 9}\end{array}\right..</math>
}}
 
L’equazione risolvente è <math>t^2-\tfrac 5 3t-\tfrac{10} 9=0</math> le cui soluzioni sono: <math>t_1=\tfrac{5-\sqrt{65}} 6\vee t_2=\tfrac{5+\sqrt{65}} 6</math>.<br />
 
Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=\tfrac{5-\sqrt{65}} 6}\\{y_1=\tfrac{5+\sqrt{65}} 6}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=\tfrac{5+\sqrt{65}} 6}\\{y_2=\tfrac{5-\sqrt{65}} 6}\end{array}\right..</math>
}}
}}
 
=== Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici ===