Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari: differenze tra le versioni
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=== Sistema simmetrico fondamentale ===
Il sistema simmetrico fondamentale è del tipo <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=s}\\{xy=p}\end{array}\right.</math> e risolve il problema di trovare due numeri, nota la loro somma e il loro prodotto.
Ricordiamo che nell’equazione di secondo grado <math>x^2+bx+c=0</math>, la somma delle radici è <math>-b</math>, mentre il prodotto è <math>c</math>. Pertanto, basta risolvere l’equazione <math>t^2-st+p=0</math>, detta ''equazione risolvente''.
In base al segno del discriminante <math>\Delta = s^2-4p</math> abbiamo:
* <math>\Delta>0</math>: l’equazione risolvente ha due soluzioni distinte <math>t_1</math> e <math>t_2</math>, le soluzioni del sistema sono:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=t_1}\\{y_1=t_2}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=t_2}\\{y_2=t_1}\end{array}\right.;</math>
}}
* <math>\Delta=0</math>: l’equazione risolvente ha radici coincidenti <math>t_1=t_2</math>, le soluzioni del sistema sono:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=t_1}\\{y_1=t_1}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=t_1}\\{y_2=t_1}\end{array}\right.;</math>
}}
* <math>\Delta<0</math>: l’equazione non ammette soluzioni reali. Il sistema è impossibile.
{{Algebra1/Esempio1| [[File:Algebra2 sistnlin fig008 iprb.svg|right|Sistema tra iperble e retta con due soluzioni]]
Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=5}\\{xy=4}\end{array}\right.</math>.<br />
L’equazione risolvente è <math>t^2-5t+4=0</math> le cui soluzioni sono: <math>t_1=1\vee t_2=4</math>.<br />
Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=1}\\{y_1=4}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=4}\\{y_2=1}\end{array}\right..</math>
}}
Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione <math>x+y=5</math> interseca l’iperbole equilatera <math>{xy}=4</math> nei due punti <math>A(1;4)</math> e <math>B(4;1)</math>.
}}
{{Algebra1/Esempio1|
[[File:Algebra2 sistnlin fig009 iprb.svg|right|Sistema impossibile tra iperbole e retta]]
Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{xy=4}\end{array}\right.</math>.<br />
L’equazione risolvente è
{{testo centrato|
<math>t^2-t+4=0</math>
}}
che ha il discriminante negativo e dunque non ha soluzioni reali. Il sistema è impossibile.<br />
Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione <math>x+y=1</math> non interseca mai l’iperbole equilatera <math>{xy}=4</math>.
}}
{{Algebra1/Esempio1| [[File:Algebra2 sistnlin fig010 iprb.svg|right|Sistema tra iperble e retta con una soluzione]]
Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{xy=1}\end{array}\right..</math><br />
L’equazione risolvente è <math>t^2-2t+1=0</math> le cui soluzioni sono: <math>t_1=t_2=1</math>.
Il sistema ha due soluzioni coincidenti:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=1}\\{y_1=1}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=1}\\{y_2=1}\end{array}\right..</math>
}}
Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione <math>x+y=2</math> è tangente all’iperbole equilatera <math>xy=1</math> nel punto <math>(1;1)</math>.
}}
=== Sistemi simmetrici riconducibili al sistema simmetrico fondamentale ===
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