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===20. Un condensatore parzialmente carico ===
[[Immagine:Es16p110.png|250px350px|right]]
Il circuito in figura è inizialmente aperto per un lungo tempo. Al tempo <math>t=0\ </math> viene chiuso l'interruttore. Determinare a) la carica iniziale e quella finale del condensatore (cioè a regime) ; b) l'espressione della carica sulle armature del condensatore al generico istante <math>t\ </math> e in particolare per <math>t=t_1\ </math> ; c) la corrente in <math>R_1\ </math> al tempo <math>2t_1\ </math>.
(Dati del problema <math>f_1=15\ V\ </math>, <math>f_2=3\ V\ </math>, <math>R_1=1\ \Omega\ </math>, <math>R_2=2\ \Omega\ </math>, <math>R_3=3\ \Omega\ </math>, <math>C=1\ \mu F\ </math>, <math>t_1=1\ \mu s\ </math>)
== Soluzioni ==
===120. FiloUn acondensatore tronco di conoparzialmente carico===
<span class="noprint">[[#120. FiloUn acondensatore troncoparzialmente di conocarico|→ Vai alla traccia]]</span>
1)
La densità di corrente è massima sulla sezione minore:
:<math>J_{max}=\frac I{\pi a^2}=8\cdot 10^5\ A/m^2</math>
minima in quella maggiore:
:<math>J_{min}=\frac I{\pi b^2}=2\cdot 10^5\ A/m^2</math>
Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:
:<math>E_{max}=\rho_{Cu}J_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m</math>
:<math>E_{min}=\rho_{Cu}J_{min}=3.5\cdot 10^{-3}\ V/m</math>
2)
Il raggio del filo varia con la distanza con la funzione:
:<math>r=a+(b-a)\frac xl\qquad \ 0<x<l</math>
La resistenza vale:
:<math>R=\int_0^l\rho_{Cu}\frac {dx}{\pi r^2}=
\frac {\rho_{Cu}}{\pi}\int_0^l\frac {dx}{\left[ a+(b-a)\frac xl
\right]^2}</math>
Facendo il cambiamento di variabile:
:<math>y=a+(b-a)\frac xl</math>
segue che:
:<math>R=\frac {\rho_{Cu}l}{\pi(b-a)}\int_a^b \frac {dy}{y^2}=
\frac {\rho_{Cu}l}{\pi ab}=0.068 \Omega</math>
3)
Imponendo che:
:<math>\rho |J_{max}|^2\le P_{max}</math>
:<math>|J_{max}|=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}</math>
Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola:
:<math>I_{max}=|J_{max}|\pi a^2=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}\pi a^2=99\ A</math>}}
===2. Un filo di materiale conduttore ===
<span class="noprint">[[#2. Un filo di materiale conduttore|→ Vai alla traccia]]</span>
Ovviamente:
:<math>R=\rho \frac l{\pi r^2}=2.16\ \Omega</math>
Dopo avere convertito le grandezze nell' MKSA.
:<math>
J_{max}=\frac {I_{max}}{\pi r^2}=6.4\cdot 10^6\ A/m^2</math>
Dalla legge di Joule in forma microscopica:
:<math>
P_u=\rho J_{max}^2=0.7\ W/cm^3</math>
:<math>|J_{max}|=\sqrt{\frac {P_u}{\rho}}=7.7\cdot 10^6\ A/m^2</math>
Mentre da:
:<math>|J_{max}|=nev_d\ </math>
segue che:
:<math>
n=6.6\cdot 10^{28} m^{-3}</math>
===3. Un faro abbagliante ===
<span class="noprint">[[#3. Un faro abbagliante|→ Vai alla traccia]]</span>
Essendo un oggetto ohmico:
:<math>R_2=\frac {V^2}P=3.6\ \Omega</math>
Essendo la resistività una funzione lineare della temperatura:
:<math>\rho=\rho_0(1+\alpha T)\ </math>
Potrò anche scrivere, trascurando la dilatazione termica del filo:
:<math>R_1=R_o(1+\alpha T_1)\ </math>
:<math>R_2=R_o(1+\alpha T_2)\ </math>
Quindi facendo il rapporto tra queste due equazioni:
:<math>\frac {R_1}{R_2}=\frac {1+\alpha T_1}{1+\alpha T_2}\ </math>
:<math>R_1(20\ ^oC)=R_2\frac {1+\alpha T_1}{1+\alpha T_2}=0.3
\ \Omega</math>
===4. Un condensatore carico ===
<span class="noprint">[[#4. Un condensatore carico|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
La carica iniziale è:
Sulle armature del I condensatore vi è una carica iniziale:
:<math>Q_0=CV_oCf_2=2003\ \mu C\ </math>
Mentre la maglia dei due generatori si comportano come un generatore equivalente:
Con una energia iniziale pari a:
:<math>E_0f_{Th}=f_1-\frac 12 CV_o^2{f_1-f_2}{R_1+R_2}R_1=2011\ V\ mJ</math>
Alla fine del processo tale carica si deve conservare, quindi le cariche finali valgono:
:<math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_0\ </math>
Inoltre le differenze di potenziale ai capi dei due condensatori debbono equivalersi:
:<math>\frac {Q_{1f}}C=\frac {Q_{2f}}{4C}</math>
Cioè:
:<math>Q_{1f}=\frac {Q_o}5=40\ \mu C</math>
:<math>Q_{2f}=\frac 45Q_o=160\ \mu C</math>
Per cui:
:<math>E_f=\frac 12\frac {Q_{1f}^2}C+\frac 12\frac {Q_{2f}^2}{4C}=\frac 15\frac 12 \frac {Q_0^2}C</math>
Quindi l'energia dissipata vale:
:<math>\Delta E=E_0-E_f=16\ mJ</math>
b)
L'equazione della maglia:
:<math>\frac {Q_1}{C}+RI-\frac {Q_2}{4C}=0</math>
Con in ogni istante:
:<math>Q_1+Q_2=Q_0\ </math>
Quindi:
:<math>\frac Q_f=Cf_{Q_1Th}{C}+RI-=11\frac {Q_0-Q_1}{4C}=0\mu C\ </math>
La resistenza equivalente vale:
:<math>Q_1+\frac 45RC\frac {dQ_1}{dt}-\frac {Q_0}{5}=0\ </math>
:<math>R_{Th}=R_3+\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=3.67\ \Omega\ </math>
Quindi la costante di tempo vale:
:<math>\tau=\frac 45RC=0.8\ s</math>
e separando le variabili:
:<math>\frac {dQ_1}{Q_1-Q_0/5}=-\frac {dt}{\tau}</math>
:<math>\ln \frac {Q_1-Q_0/5}{Q_0-Q_0/5}=-\frac t{\tau}\ </math>
:<math>Q_1=\frac {Q_0}5+\frac {4Q_0}5e^{-t/\tau}\ </math>
'E facile vedere come per <math>t=0\ </math> e <math>t=\infty\ </math> assume i valori dati nel punto a).
===5. Tre resistenze ===
<span class="noprint">[[#5. Tre resistenze|→ Vai alla traccia]]</span>
Da come è fatto il circuito l'elemento critico è la resistenza <math>R_3\ </math>, in quanto in esso scorre tutta la corrente.
Nelle resistenze <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math> scorre la stessa corrente:
:<math>I_1=I_2=\frac I2\ </math>
Quindi:
:<math>P_{tot}=\sum_{i=1}^3RI_i^2=\frac 32 RI^2\ </math>
Quindi la massima corrente dipende dalla massima potenza dissipabile:
<math>I=\sqrt {\frac {P_{max}}R}=10\ A</math>
quindi:
<math>P_{tot}=\frac 32 P_{max}=150\ W</math>
===6. Carica di un condensatore ===
<span class="noprint">[[#6. Carica di un condensatore|→ Vai alla traccia]]</span>
Utilizzando il teorema di Thevenin il condensatore vede ai suoi capi un dipolo attivo con:
<math>f_{th}=\frac f{R_1+R_2}R_2=750\ V</math>
ed un resistenza di Thevenin di:
<math>R_{th}=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=3.75\ K\Omega\ </math>
Quindi la costante di tempo di carica vale:
<math>\tau =R_{th}C=0.0375\ s\ </math>
Quindi dopo <math>t_1\ </math> la tensione ai capi del condensatore vale:
<math>V=\frac QC=f_{th}\left( 1- e^{-t_1/\tau} \right)=310\ V\ </math>
===7. Due generatori di f.e.m. ===
<span class="noprint">[[#7. Due generatori di f.e.m.|→ Vai alla traccia]]</span>
Se definiamo rispettivamente <math>I_1\ </math>, <math>I_2\ </math> ed <math>I\ </math> le correnti nei tre rami, tutte in senso
orario.
Dalle legge di Kirchhoff applicate al nodo:
<math>I_1+I_2=I\ </math>
Dalle legge di Kirchhoff applicate alle due maglie:
<math>f_1=I_1r_1+IR\ </math>
<math>f_2=I_2r_2+IR\ </math>
Eliminando <math>I_1\ </math> e <math>I_2\ </math> nel sistema:
<math>I(R/r_1+R/r_2+1)= \frac {f_1}{r_1}+\frac {f_2}{r_2}\ </math>
da cui:
<math>I=1\ A</math>
quindi:
<math>I_1=\frac {f_1-IR}{r_1}=0.68\ A</math>
<math>I_2=\frac {f_2-IR}{r_2}=0.31\ A</math>
<math>P_1=f_1I_1=8.2\ W</math>
<math>P_2=f_2I_2=3.6\ W</math>
===8. Tre generatori su una resistenza R ===
<span class="noprint">[[#8. Tre generatori su una resistenza R|→ Vai alla traccia]]</span>
Applicando il teorema di Thevenin ai generatori 1 e 2, diventano
equivalenti ad unico generatore di resistenza interna e f.e.m.:
<math>r'=\frac {r_1r_2}{r_1+r_2}=0.66\ \Omega</math>
<math>f'=f_2-\frac {f_2-f_1}{r_1+r_2}r_2=8\ V</math>
Quindi scrivendo l'equazioni di Kirkhhoff per le maglie (detta <math>I'\ </math>
la corrente nella maglia del generatore equivalente e <math>I_3\ </math> la
corrente nel ramo del generatore <math>3\ </math> e <math>I\ </math> la corrente nel ramo di
<math>R\ </math>):
<math>I'+I_3=I\ </math>
<math>f'=I'r'+IR\ </math>
<math>f_3=I_3r_3+IR\ </math>
Da cui eliminando <math>I'\ </math>:
<math>
f'=(I-I_3)r'+IR\ </math>
<math>I_3=\frac {f_3-IR}{r_3}\ </math>
Quindi:
<math>I=\frac {f'+f_3r'/r_3}{r'+Rr'/r_3+R}=1.47\ A</math>
<math>
I_3=\frac {f_3-IR}{r_3}=0.54\ A</math>
===9. RC con r interna ===
<span class="noprint">[[#9. RC con r interna|→ Vai alla traccia]]</span>
Nel transitorio iniziale la capacità si comporta come un corto circuito
per cui la corrente circolante vale:
<math>i_o=\frac {f_1}{R+r}\ </math>
Quindi essendo:
<math>P_0=i_o^2R=\frac {f_1^2}{(R+r)^2}R\ </math>
<math>r=f_1\sqrt {\frac R{P_0}}-R=4.4\ \Omega\ </math>
Mentre la corrente che scorre nel circuito vale nel generico istante di tempo <math>t\ </math>:
<math>i(t)=i_oe^{-t/\tau }\ </math>
con <math>\tau=(R+r)C\ </math>, <math>i_o=f_1/(R+r)=2.2\ A\ </math>. Quindi se:
<math>P_1=i_o^2e^{-2t_1/\tau }R\ </math>
<math>\tau =\frac {2t_1}{\ln \frac {i_o^2}{P_1R}}=2.9\ ms\ </math>
<math>C=\frac {\tau}{r+R}=0.53\ mF\ </math>
===10. Telefonino semiscarico ===
<span class="noprint">[[#10. Telefonino semiscarico|→ Vai alla traccia]]</span>
Per la seconda maglia nel primo caso:
<math>f_2=-I_2r_2+V_R\ </math>
da cui:
<math>r_2=\frac {V_R-f_2}{I_2}=39\ \Omega\ </math>
Inoltre il generatore nel primo caso: fornisce una corrente pari a:
<math>I_1=I_2+\frac {V_R}R=94\ mA</math>
Posso scrivere l'equazione della prima maglia nel primo caso che:
<math>f_1-I_1r_1=V_R\ </math>
Inoltre nel secondo caso (una singola maglia):
<math>f_1-f_2=I_4(r_1+r_2)\ </math>
Quindi facendo la differenza:
<math>r_1=\frac{f_2+I_4r_2-V_R}{I_1-I_4}=5.3\ \Omega</math>
<math>f_1=I_1r1+V_R=5\ V</math>
===11. Carica condensatore con 2 R ===
<span class="noprint">[[#11. Carica condensatore con 2 R|→ Vai alla traccia]]</span>
Nell'istante iniziale il condensatore si comporta come un corto circuito per cui la corrente che fornisce il generatore è massima:
<math>I_{max}=\frac f{R_1}=0.78\ A</math>
Quindi:
<math>P_{max}=fI_{max}=11\ W</math>
Mentre, passato un tempo sufficiente lungo, la corrente diventa:
<math>I_{min}=\frac f{R_1+R_2}=0.13\ A</math>
<math>P_{min}=fI_{min}=1.8\ W</math>
Mentre per quant riguarda la seconda domanda, utilizzando il teorema di Thevenin, ai capi del condensatore:
<math>f_{th}=\frac f{R_1+R_2}R_2=11.7\ V</math>
<math>R_{th}=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=15\ \Omega</math>
Detta <math>\tau =R_{th}C=15\ ms</math>
Imponendo che:
<math>\frac {f_{th}}{2R_{th}}=\frac {f_{th}}{R_{th}}e^{-t_1/\tau}\ </math>
<math>
t_1=\tau \ln 2=10.4\ ms</math>
===12. Scarica condensatore con 2 R ===
<span class="noprint">[[#12. Scarica condensatore con 2 R|→ Vai alla traccia]]</span>
La carica iniziale vale:
:<math>Q_o=Cf=9\ mC\ </math>
Mentre una volta che il sistema con l'interruttore chiuso è andato a regime, la tensione ai capi di
<math>R_2</math> vale ovviamente:
:<math>f'=\frac f{R_1+R_2}R_2=10\ mV</math>
E quindi la carica finale ai capi di <math>C\ </math> vale:
:<math>Q_f=Cf'=10\ \mu C</math>
Se definisco <math>I_1\ </math> la corrente in <math>R_1\ </math>, <math>I_3\ </math> quella in <math>R_2\ </math> ed
<math>I_2\ </math> la corrente nel ramo del condensatore tale che la carica
istantanea nel condensatore:
:<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}\ </math>
L'equazione dei
nodi e della maglie sono:
:<math>
f=I_1R_1+I_3R_2\ </math>
:<math>I_3=I_1+I_2\ </math>
:<math>\frac QC=R_2I_3\ </math>
Eliminando dalla terza:
:<math>I_3=Q/(R_2C)\ </math>
e dalla prima:
<math>I_1=\frac {f-Q/C}{R_1}\ </math>
si ha nella seconda:
:<math>\frac Q{R_2C}=\frac {f-Q/C}{R_1}-\frac {dQ}{dt}\ </math>
:<math>\frac Q{R_2C}=\frac {f}{R_1}-\frac Q{R_1}-\frac {dQ}{dt}\ </math>
:<math>\frac Q{C}\frac {R_1+R_2}{R_1R_2}-\frac {f}{R_1}=-\frac {dQ}{dt}\ </math>
:<math> Q-\frac {fCR_2}{R_1+R_2}=-\frac {R_1R_2C}{R_1+R_2}\frac {dQ}{dt}\ </math>
Essendo: <math>Q_f=(fCR_2)/(R_1+R_2)\ </math> e definendo <math>\tau=\frac {R_1R_2C}{R_1+R_2}\ </math>
:<math>-\frac {dQ}{dt}\tau=Q-Q_f\ </math>
Separando le variabili ed integrando:
:<math>\int_{Q_o}^{Q}\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\int_o^t\frac {dt}{\tau}\ </math>
:<math>Q(t)=Q_f+(Q_o-Q_f)e^{-t/\tau}\ </math>
Da cui:
:<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}=\frac {Q_o-Q_f}{\tau }e^{-t/\tau}=\frac f{R_2}e^{-t/\tau}\ </math>
:<math>I_1=\frac {f-Q/C}{R_1}=\frac {f}{R_1}-\frac {Q}{CR_1}=\frac {f}{R_1}-\frac {Q_f}{CR_1}-\frac {Q_o-Q_f}{CR_1 }e^{-t/\tau}=\frac {f}{R_1}-\frac {Q_f}{CR_1}-\frac {f}{R_1+R_2}e^{-t/\tau}= \frac f{R_1+R_2}\left( 1-e^{-t/\tau
}\right)\ </math>
Avendo scritto esplicitamente:
:<math>Q_o-Q_f=Cf\left(1-\frac {R_2}{R_1+R_2}\right)=\frac {CfR_1}{R_1+R_2}\ </math>
Imponendo che:
:<math>I_2=I_1\ </math>
:<math>
\frac {e^{-t_1/\tau}
}{R_2}=\frac 1{R_1+R_2}\left( 1-e^{-t_1/\tau }\right)\ </math>
:<math>
t_1=\tau \ln\left(1+\frac {R_1+R_2}{R_2}\right)=6.8\ ms\ </math>
===13. Due generatori reali su una R variabile ===
<span class="noprint">[[#13. Due generatori reali su una R variabile|→ Vai alla traccia]]</span>
Detta <math>I_1\ </math> la corrente nel ramo di <math>f_1\ </math>, <math>I_2\ </math> la corrente
concorde al generatore <math>f_2\ </math> ed <math>I_3\ </math> la corrente in <math>R\ </math>.
Le equazioni delle due maglie sono:
:<math>I_1+I_2=I_3\ </math>
:<math>f_1=I_1R_1+I_3 R\ </math>
:<math>f_1-I_1R_1=f_2-I_2R_2\ </math>
La inversione di corrente avviene quando: <math>I_2=0\ </math> cioè
dall'ultima quando:
:<math>f_1-I_1R_1=f_2\ </math>
:<math>I_1=\frac {f_1-f_2}{R_1}=0.33\ A</math>
di conseguenza dalla prima:
:<math>I_3=0.33\ A</math>
:<math>R=\frac {f_1-I_1R_1}{I_3}=21\ \Omega</math>
Nel caso generale invece eliminando dal sistema di tre equazioni
prima <math>I_1\ </math>:
:<math>f_1=I_3R_1-I_2R_1+I_3 R_f\ </math>
:<math>f_1-I_3R_1+I_2R_1=f_2-I_2R_2\ </math>
da cui:
:<math>I_3=\frac {f_1-I_2R_1}{R_1+R_f}\ </math>
:<math>I_3=\frac {f_1-f_2+I_2(R_1+R_2)}{R_1}\ </math>
Eliminando <math>I_3\ </math>:
:<math>\frac {f_1-I_2R_1}{R_1+R}=\frac {f_1-f_2+I_2(R_1+R_2)}{R_1}\ </math>
da cui:
:<math>I_2(\frac {R_1+R_2}{R_1}+ \frac {R_1}{R_1+R_f})=\frac
{f_1}{R_1+R_f}-\frac {f_1-f_2}{R_1}\ </math>
:<math>I_2=\left(\frac
{f_1}{R_1+R_f}-\frac {f_1-f_2}{R_1} \right) /\left(\frac
{f_1}{R_1+R_f}-\frac {f_1-f_2}{R_1}\right)=0.16\ A\ </math>
:<math>P_2=f_2I_2=1.12\ W\ </math>
===14. Due condensatori con una resistenza ===
<span class="noprint">[[#14. Due condensatori con una resistenza|→ Vai alla traccia]]</span>
La carica iniziale del primo condensatore vale:
:<math>Q_{10}= CV_o=Q_o\ </math>
Mentre sul secondo:
:<math>Q_{20}=0\ </math>
Nello stato finale la carica si conserva (la positiva sull'armatura superiore la negativa sulle inferiori) in maniera che:
<math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_o\ </math>
Ma anche la d.d.p. ai capi dei due condensatori deve essere eguale:
:<math>\frac {Q_{1f}}C=\frac {Q_{2f}}{\alpha C}</math>
Dall'insieme di queste due equazioni risulta che:
:<math>Q_{1f}=\frac {CV_o}{1+\alpha }\ </math>
:<math>Q_{2f}=\frac {\alpha CV_o}{1+\alpha }\ </math>
Ora mentre l'energia elettrostatica iniziale vale:
:<math>E_0=\frac 12CV_o^2\ </math>
quella finale vale:
:<math>E_f=\frac 12\frac {Q_{1f}^2}C+\frac 12\frac {Q_{2f}^2}{\alpha C}=\frac 12 \frac {CV_o^2}{\alpha +1}\
</math>
Quindi la energia elettrostatica è diminuita di:
:<math>E_0-E_f=\frac {\alpha}{\alpha +1}\frac 12CV_o^2\ </math>
Determiniamo ora l'energia dissipata per effetto Joule durante il transitorio, definita
la corrente in senso orario, e <math>Q_1\ </math> la carica istantanea sulla armatura di sopra del I condensatore,
<math>Q_2\ </math> quella sulla armatura superiore del II condensatore:
:<math>\frac {Q_1}C=IR+\frac {Q_2}{\alpha C}\ </math>
Ma per la conservazione della carica:
:<math>Q_2+Q_1=Q_o\ </math>
:<math>Q_2=Q_o-Q_1\ </math>
Chiaramente la corrente (al limite per <math>\alpha=\infty\ </math> deve coincidere con un corto circuito
cioè il caso visto nella scarica)
:<math>I=-\frac {dQ_1}{dt}\ </math>
Sostituendo:
:<math>\frac {Q_1}C+\frac {dQ_1}{dt}R-\frac {Q_o-Q_1}{\alpha C}=0\ </math>
:<math>\alpha Q_1+\frac {dQ_1}{dt}\alpha C R-Q_o+Q_1=0\ </math>
Separando le variabili:
:<math>\frac {dQ_1}{(\alpha +1)Q_1-Q_o}=-\frac {dt}{\alpha RC}\ </math>
Integrando, tra il tempo 0 ed il tempo t, viene:
:<math>\frac 1{\alpha +1}\ln \frac {(\alpha +1)Q_1(t)-Q_o}{\alpha Q_o}=-\frac t{\alpha RC}\ </math>
:<math>Q_1(t)=\frac {Q_o}{1+\alpha }\left({1+\alpha }e^{-t(\alpha +1)/\alpha RC}\right)</math>
La sua derivata:
:<math>I=\frac {dQ_1}{dt}=-\frac {Q_o}{RC}e^{-t(\alpha +1)/\alpha RC}\ </math>
L'energia dissipata per effetto Joule vale:
:<math>E_d=\int_0^{\infty}R\frac {Q_o^2}{R^2C^2}e^{-2t(\alpha +1)/\alpha RC}dt=
\int_0^{\infty}\frac {V_o^2}{R}e^{-2t(\alpha +1)/\alpha RC}dt=
\frac {\alpha}{\alpha +1}\frac 12CV_o^2
\ </math>
===15. Resistenze serie parallelo ===
<span class="noprint">[[#15. Resistenze serie parallelo|→ Vai alla traccia]]</span>
Dai dati del problema:
<math>P_1=\Delta V^2/R_1\ </math>
<math>P_2=\Delta V^2/R_2\ </math>
<math>P_1=2P_2\ </math>
Quindi:
<math>R_2=2R_1\ </math>
Se vengono disposte in serie:
<math>P_a=\Delta V^2/(R_1+R_2)=P_1/3=8.34\ W\ </math>
Mentre se sono disposte in parallelo:
<math>R_p=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac 23 R_1\ </math>
Quindi:
<math>P_b=\frac 32\Delta V^2/R_1=\frac 32P_1=37.5\ W\ </math>
===16. Generatori serie parallelo ===
<span class="noprint">[[#16. Generatori_serie_parallelo|→ Vai alla traccia]]</span>
a) Essendo <math>|I_A|>|I_B|\ </math> il caso indipendentemente dal valore della f.e.m. dei due generatori implica che sono disposti con i morsetti <math>-+-+\ </math>, quindi:
<math>V_{1A}=f_1-I_Ar_1=0.7\ V</math>
b)
L'equazione che determina la carica del condensatore è:
Nel primo caso l'equazione della maglia è:
:<math>f_{Th}=R_{Th}I_3(t)+\frac {Q(T)}C\ </math>
detta <math>I_3\ </math> la corrente istantanea nel ramo del condensatore, che è pari a:
<math>f_2+f_1=I_A(r_1+r_2+R)\ </math>
:<math>I_3(t)=\frac {dQ(t)}{dt}\ </math>
Definendo <math>\tau=R_{Th}C\ </math>:
Nel secondo caso:
:<math>f_2\frac {dQ}{Q-f_1f_{Th}C}=I_B(r_1+r_2+R)-\frac {dt}{\tau}\ </math>
:<math>\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\frac {dt}{\tau}\ </math>
Facendo quindi il rapporto tra queste due equazioni:
:<math>\int_{Q_0}^{Q(t)}\frac {f_2+f_1dQ'}{f_2Q'-f_1Q_f}=-\int_0^t\frac {I_Adt'}{I_B\tau}=r\ </math>
Detto :<math>r=\log \frac {I_AQ(t)-Q_f}{I_BQ_0-Q_f}=-5.8\frac t{\tau}\ </math>
:<math>Q(t)=Q_f+(Q_0-Q_f)e^{-t/\tau}\ </math>
in particolare per $t=t_1\ </math>:
Da cui:
:<math>f_2Q(t_1)=f_14.9\frac {1+r}{r-1}=1.97\mu C\ V</math>
Con semplici passaggi dalla prima equazione:
:<math>r_2=0.28\ \Omega</math>
c)
Nel primo caso:
:<math>V_{2A}=f_2-I_Ar_2=1.55\ V</math>
Nel secondo caso:
:<math>V_{2B}=f_2-I_Br_2=2.04\ V</math>
===17. Scarica di un condensatore con due generatori ===
<span class="noprint">[[#17. Scarica di un condensatore con due generatori|→ Vai alla traccia]]</span>
Prima della chiusura dell'interruttore la corrente che scorre nella maglia dove sono presenti entrambi i generatori vale:
:<math>i_c=\frac {2f}{2r+R}=\frac {2f}{4r}=10\ A\ </math>
La tensione ai capi del condensatore vale:
:<math>V_c=f-i_cr=\frac f2=10\ V\ </math>
Quindi la carica iniziale vale:
:<math>Q_o=CV_c=C\frac f2=10\ \mu C\ </math>
Mentre quella finale è:
:<math>Q_f=0\ </math>
Da cui la variazione di carica sul condensatore vale:
:<math>\Delta Q=Q_o=10\ \mu C\ </math>
La costante di tempo di scarica è pari a:
:<math>\tau=rC/2=0.5\ \mu s\ </math>
Quindi essendo:
:<math>Q(t)=Q_o e^{-t/\tau}\ </math>
:<math>I(t)=-\frac {Q_o}{\tau}e^{-t/\tau}=\frac {f}{r}e^{-t/\tau}\ </math>
Imponendo che:
:<math>I(t_x)=\frac {f}{r}e^{-t_x/\tau}=I_o\ </math>
Si ha che:
:<math>t_x=\tau \log(20)=1.5\ \mu s\ </math>
===18. Una nuvola di pioggia ===
<span class="noprint">[[#18. Una nuvola di pioggia|→ Vai alla traccia]]</span>
Riscrivendo nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|SI]]:
:<math>\Delta n=1.10\cdot 10^8\ 1/m^3\ </math>
Quindi la variazione di densità di carica vale:
:<math>\Delta \rho=e\Delta n=1.8\cdot 10^{11}\ C/m^3\ </math>
Quindi la carica trasferita durante una scarica vale:
:<math>\Delta Q=\Delta \rho \frac 43 \pi (d/2)^3=2 C\ </math>
La corrente vale:
:<math>I=\frac {\Delta Q}{t_o}=10\ A\ </math>
Quindi l'energia dissipata vale:
:<math>E_d=V_o\Delta Q=1\cdot 10^8\ J\ </math>
La potenza invece vale:
:<math>P=IV_o=5\cdot 10^8\ W\ </math>}}
===19. Due generatori di f.e.m. con condensatore ===
<span class="noprint">[[#19. Due generatori di f.e.m. con condensatore|→ Vai alla traccia]]</span>
a) Se la corrente circola in senso orario , in condizioni stazionarie, significa che la f.e.m. del generatore di sinistra è maggiore di quello di destra.
:<math>I_f=\frac {f_1-f_2}{R_1+R_2}\ </math>
:<math>f_1=f_2+I_f(R_1+R_2)=16\ V\ </math>
b) la carica iniziale vale:
:<math>Q_0=Cf_2=7.2\ \mu C\ </math>
mentre quella finale vale:
:<math>Q_f=C(f_2+I_f\cdot R_2)=9.6\ \mu C\ </math>
c)
Applicando il teorema di Thevenin ai capi del condensatore, dopo la chiusura dell'interruttore:
:<math>f_{th}=f_2+I_f\cdot R_2=13\ V\ </math>
:<math>R_{th}=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}\ </math>
quindi
:<math>\tau =R_{th}C=2.7\ \mu s\ </math>
d)
L'equazioneLa deltensione transitorioa sulcapi del condensatore èal tempo <math>t_2\ </math>:
:<math>f_{th}V_C(t_2)=R_[]Q_f+(Q_0-Q_f)e^{th}-t_2/\frac {dQtau}{dt}+]/C=6.36\frac QCV\ </math>
La corrente <math>I_3(t_2)\ </math>:
da cui:
:<math>I_3(t_2)=\frac {dQQ_f-Q_0}{Q\tau}e^{-f_{th}Ct_2/\tau}=-1.26\frac {dt}{R_{th}C}A\ </math>
Quindi per quanto riguarda la maglia esterna:
con le definizioni già date:
:<math>\frac {dQ}{Q-Q_f}f_1=-\frac {dt}{\tau }I_1(t_2)R_1+I_3(t_2)R_3+V_C(t_2)\ </math>
:<math>\int_{Q_o}^{QI_3=(tf_1-I_3(t_2)}\frac {dQ}{QR_3-Q_f}V_C(t_2)=-\int_0^t\frac {dt'}{4.84\tau }A\ </math>
:<math>\ln \frac {Q-Q_f}{Q_o-Q_f}=-\frac t{\tau }\ </math>
:<math>Q(t)=Q_f+(Q_o-Q_f)e^{-t/\tau}\ </math>
:<math>I(t)=\frac {Q_o-Q_f}{\tau}e^{-t/\tau}=I_ce^{-t/\tau}\ </math>
con <math>I_c=0.87\ A\ </math>
:<math>I_c{\tau}e^{-t/\tau}=I_f\ </math>
:<math>t=-\tau \ln \frac {I_f}{I_c}=1.5\ \mu s\ </math>
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