Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica"

aggiunto esercizio 20
m (→‎12. Scarica condensatore con 2 R: chiarito meglio un passaggio)
(aggiunto esercizio 20)
 
<span class="noprint">[[#19. Due generatori di f.e.m. con condensatore_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===20. Un condensatore parzialmente carico===
[[Immagine:Es16p110.png|350px|right]]
 
Il circuito in figura è inizialmente aperto per un lungo tempo. Al tempo <math>t=0\ </math> viene chiuso l'interruttore. Determinare a) la carica iniziale e quella finale del condensatore (cioè a regime) ; b) l'espressione della carica sulle armature del condensatore al generico istante <math>t\ </math> e in particolare per <math>t=t_1\ </math>; c) la corrente in <math>R_1\ </math> al tempo <math>2t_1\ </math>.
(Dati del problema <math>f_1=15\ V\ </math>, <math>f_2=3\ V\ </math>, <math>R_1=1\ \Omega\ </math>, <math>R_2=2\ \Omega\ </math>, <math>R_3=3\ \Omega\ </math>, <math>C=1\ \mu F\ </math>, <math>t_1=1\ \mu s\ </math>)
 
<span class="noprint">[[#20. Un condensatore parzialmente carico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
== Soluzioni ==
:<math>t=-\tau \ln \frac {I_f}{I_c}=1.5\ \mu s\ </math>
 
===20. Un condensatore parzialmente carico===
<span class="noprint">[[#20. Un condensatore parzialmente carico|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a)
 
La carica iniziale è:
:<math>Q_0=Cf_2=3\ \mu C\ </math>
Mentre la maglia dei due generatori si comportano come un generatore equivalente:
:<math>f_{Th}=f_1-\frac {f_1-f_2}{R_1+R_2}R_1=11\ V\ </math>
Quindi:
:<math>Q_f=Cf_{Th}=11\ \mu C\ </math>
La resistenza equivalente vale:
:<math>R_{Th}=R_3+\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=3.67\ \Omega\ </math>
 
b)
 
L'equazione che determina la carica del condensatore è:
:<math>f_{Th}=R_{Th}I_3(t)+\frac {Q(T)}C\ </math>
detta <math>I_3\ </math> la corrente istantanea nel ramo del condensatore, che è pari a:
:<math>I_3(t)=\frac {dQ(t)}{dt}\ </math>
Definendo <math>\tau=R_{Th}C\ </math>:
:<math>\frac {dQ}{Q-f_{Th}C}=-\frac {dt}{\tau}\ </math>
:<math>\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\frac {dt}{\tau}\ </math>
:<math>\int_{Q_0}^{Q(t)}\frac {dQ'}{Q'-Q_f}=-\int_0^t\frac {dt'}{\tau}\ </math>
:<math>\log \frac {Q(t)-Q_f}{Q_0-Q_f}=-\frac t{\tau}\ </math>
:<math>Q(t)=Q_f+(Q_0-Q_f)e^{-t/\tau}\ </math>
in particolare per $t=t_1\ </math>:
:<math>Q(t_1)=4.9\ \mu C\ </math>
 
c)
 
La tensione a capi del condensatore al tempo <math>t_2\ </math>:
:<math>V_C(t_2)=[]Q_f+(Q_0-Q_f)e^{-t_2/\tau}]/C=6.36\ V\ </math>
La corrente <math>I_3(t_2)\ </math>:
:<math>I_3(t_2)=\frac {Q_f-Q_0}{\tau}e^{-t_2/\tau}=1.26\ A\ </math>
Quindi per quanto riguarda la maglia esterna:
:<math>f_1=I_1(t_2)R_1+I_3(t_2)R_3+V_C(t_2)\ </math>
:<math>I_3=(f_1-I_3(t_2)R_3-V_C(t_2)=4.84\ A\ </math>
 
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|La corrente elettrica]]