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===24. Carica e dipolo===
Una carica <math>q=100\ pC\ </math> è posta nell'origine delle coordinate ed ad una distanza <math>d=1\ cm\ </math> vi è un dipolo elettrico,
con momento <math>|p|=2\times 10^{-14}\ Cm\ </math>, orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (così da essere attratto) .
Assunto come asse delle <math>x\ </math> la congiungente la carica ed il dipolo;
determinare a) la forza con cui si attraggono, nell'ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo sia trascurabili rispetto a <math>d=1\ cm\ </math>;
b) il campo elettrico generato nel punto <math>x=2d/3\ </math>; c) la differenza di potenziale tra <math>x=0.2d\ </math> e <math>x=0.8d\ </math>.
<span class="noprint">[[#24. Carica e dipolo_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
== Soluzioni ==
===24. Carica e dipolo===
<span class="noprint">[[#24. Carica e dipolo|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
Un dipolo, posto nel punto di coordinate <math>d\ </math>, genera lungo il suo asse un campo pari:
:<math>E_x=\frac 1{2\pi \varepsilon _o}\frac {p}{(d-x)^{3}}\ </math>
In particolare per <math>x=0\ </math> (dove è la carica <math>q\ </math>):
:<math>E_x=\frac 1{2\pi \varepsilon _o}\frac {p}{(d)^{3}}=360\ V/m\ </math>
Quindi la forza attrattiva sulla carica <math>q\ </math> vale:
:<math>F=qE_x=\frac 1{2\pi \varepsilon _o}\frac {pq}{(d)^{3}}=121\ nN\ </math>
b)
Il campo generato lungo l'asse delle x per <math>x\le 0\ </math> vale:
:<math>E_{xt}=\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\frac {q}{x^2}+\frac 1{2\pi \varepsilon _o}\frac {p}{(d-x)^{3}}\ </math>
Quindi se <math>x=2/3d=6.7\ mm\ </math>:
:<math>E_{xt}=3\cdot 10^4\ V/m\ </math>
c)
La differenza di potenziale dovuta alla carica vale:
:<math>DV_q=-\frac q{4\pi \varepsilon _o}\int_{0.2d}^{0.8d}\frac 1{x^2}dx=\frac q{4\pi \varepsilon _o}\left[\frac 1x\right]_{0.8d}^{0.2d}=
337\ V\ </math>
La differenza di potenziale dovuta al dipolo vale:
:<math>DV_p=-\frac p{2\pi \varepsilon _o}\int_{0.2d}^{0.8d}\frac 1{(d-x)^3}dx\ </math>
Facendo un cambio di variabile <math>y=d-x\ </math>:
:<math>DV_p=\frac p{2\pi \varepsilon _o}\int_{0.8d}^{0.2d}\frac 1{y^3}dy=\frac p{2\pi \varepsilon _o}\left[-\frac 1{2y^2}\right]_{0.8d}^{0.2d}=
42\ V\ </math>
Quindi in totale:
:<math>DV=DV_q+DV_p=379\ V\ </math>
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