Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/Dinamica dei corpi rigidi"

aggiuntio esercizio 21
(aggiunto esercizio 20)
(aggiuntio esercizio 21)
 
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===21. yo-yo===
[[Immagine:Yoyo.gif|200px|right]]
 
Uno yo-yo classico di momento di inerzia <math>I\ </math> e massa <math>m\ </math> è
rappresentato in figura. Attorno all'asse centrale di raggio
<math>r\ </math>, (molto minore del raggio esterno del giocattolo) è avvolto un filo di lunghezza <math>\ell\ </math> che è fissato ad una estremità in modo
tale che mentre lo yo-yo scende verticalmente, il filo si svolge. Se lo yo-yo parte da
fermo per <math>\ell=0\ </math> si determini: a) la accelerazione e la tensione del filo; b) l' energia cinetica rotazionale (assumendo che la rotazione avvenga attorno al centro di massa) e quella traslazionale alla fine della discesa ; c) Al termine della fase di discesa lo yo-yo continua a ruotare nella medesima direzione riavvolgendo il filo. Assumendo che nell'inversione del moto venga dissipata tutta l’energia
cinetica traslazionale, determinare l’altezza massima raggiunta).
 
(dati del problema <math>m=130\ g</math>, <math>r=4.4\ mm\ </math>, <math>\ell=1.1\ m\ </math>, <math>I=1\cdot 10^{-4}\ kgm^2\ </math>)
 
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== Soluzioni ==
:<math>\omega =\sqrt{\frac {16g}{11R}}=6.8\ rad/s\ </math>
:<math>v_e=\omega 4 R=4.2\ m/s\ </math>
 
===21. yo-yo===
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a)
 
Le equazioni cardinali della meccanica si riducono in questo caso a:
:<math>ma=mg-T\quad \Rightarrow T=m(g-a)\ </math>
assunta la direzione verso il basso positiva
:<math>Tr=I\alpha \quad\Rightarrow T=\frac {I\alpha}r\ </math>
Dove <math>T\ </math> è la tensione del filo ed <math>\alpha\ </math> la accelerazione angolare.
Eliminando da queste equazioni <math>T\ </math>:
:<math>m(g-a)=\frac {I\alpha}r\ </math>
Ma poiché il cordino è fissato <math>r\alpha =a\ </math>, quindi l'ultima equazione diviene:
:<math>m(g-a)=\frac {Ia}{r^2}\quad\Rightarrow a=\frac g{1+I/mr^2}=0.24\ m/s^2\ </math>
la tensione del filo è:
:<math>T=m(g-a)=1.24\ N\ </math>
 
b)
 
Chiamando <math>\ell\ </math> la lunghezza del filo, applicando la conservazione dell’energia meccanica tra lo stato iniziale a velocità nulla e lo stato finale di massima elongazione dello yo-yo si ha:
:<math>mg\ell =\frac 12 I\omega^2+\frac 12 mv_{CM}^2 \rightarrow \omega=\sqrt{\frac{mgl}{I+mr^2}}=165.4\ rad/s\ </math>
Si è utilizzato <math>\omega =v_{CM} r\ </math>, con <math>r\ </math> il raggio della puleggia attorno alla quale si arrotola il filo. Di conseguenza <math>v_{CM}=0.73\ m/s\ </math>.
 
Quindi l'energia rotazionale è:
:<math>E_r=\frac 12 I\omega^2=1.37\ J\ </math>
Quindi l'energia cinetica traslazionale è:
:<math>E_t=\frac 12 mv_{CM}^2=0.034\ J\ </math>
La somma delle due energie è pari a quella potenziale iniziale:
:<math>E_p=mgh=1.4\ J\ </math>
 
c)
 
Viene dissipata tutta l'energia traslazionale e dalla trasformazione della energia rotazionale in energia potenziale:
:<math>mg\ell'=E_r\ </math>
:<math>\ell'=E_r/(mg)=1.07\ m\ </math>
 
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Dinamica corpi rigidi]]