Differenze tra le versioni di "Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Vettori"

 
== Dipendenza e indipendenza lineare ==
 
{{Algebra1/Definizione| Diciamo che un vettore <math>\vec{v}</math> è ''combinazione lineare'' di altri vettori <math>\vec{x}</math>, <math>\vec{y}</math>, <math>\vec{z}</math> se esistono i numeri reali <math>r_1</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math>, detti ''coefficienti della combinazione lineare'', per i quali risulta verificata l’uguaglianza <math>\vec{v}=r_1 \cdot \vec{x} + r_2 \cdot \vec{y} + r_3 \cdot \vec{z}</math>. }}
 
{{Algebra1/Esempio1| Nell’esempio precedente hai costruito i vettori <math>\vec{p_1}</math>, <math>\vec{p_2}</math>, <math>\vec{p_3}</math> eseguendo la somma algebrica di vettori costruiti moltiplicando per numeri reali i vettori assegnati <math>\vec{x}</math>, <math>\vec{y}</math>, <math>\vec{z}</math>. Possiamo dire che:
 
* <math>\vec{p_1}</math> è combinazione lineare dei vettori <math>\vec{x}</math> e <math>\vec{y}</math> i cui coefficienti sono <math>r_1=2</math>, <math>r_2=-1</math>.
* <math>\vec{p_2}</math> è combinazione lineare dei vettori <math>\vec{z}</math> e <math>\vec{y}</math> i cui coefficienti sono <math>r_1=2</math>, <math>r_2=2</math>.
* <math>\vec{p_3}</math> è combinazione lineare dei vettori <math>\vec{x}</math>, <math>\vec{y}</math> e <math>\vec{z}</math> i cui coefficienti sono <math>r_1=-\tfrac{3}{2}</math>, <math>r_2=2</math> e <math>r_3=3</math>.
 
}}
 
Nell’insieme <math>V</math> di tutti i vettori del piano cartesiano, consideriamo i vettori <math>\vec{i}(1;0)</math> e <math>\vec{j}(0;1)</math> appartenenti rispettivamente all’asse delle ascisse e a quello delle ordinate; possiamo notare che <math>\vec{i}</math> e <math>\vec{j}</math> formano tra loro un angolo di <math>90\text{°}</math> e che <math>|\vec{i}|=|\vec{j}|=1</math>. Tali vettori sono chiamati ''versori'' associati rispettivamente dell’asse <math>x</math> e all’asse <math>y</math>.
 
Ogni vettore <math>\vec{v}</math> del piano può essere scritto come combinazione lineare di <math>\vec{i}</math> e <math>\vec{j}</math> e le sue componenti sono i coefficienti della combinazione lineare di <math>\vec{i}</math> e <math>\vec{j}</math> con i quali si determina <math>\vec{v}</math>. <math>\vec{v}(x_v;y_v)=x_v \cdot \vec{i}+y_v \cdot \vec{j}</math>
 
{{Algebra1/Esempio1| Disegniamo nel riferimento cartesiano ortogonale i vettori <math>\vec{u}(1;1)</math>, <math>\vec{v}(4;-2)</math>, <math>\vec{w}(3;1)</math>; ci chiediamo se è possibile scrivere <math>\vec{w}</math> come combinazione lineare degli altri due.
 
[[File:Algebra1 vtt fig018 vet.svg|center|Esercizio sui vettori]]<br />
 
'''Il metodo geometrico'''&nbsp;
Dobbiamo costruire due vettori <math>\vec{u}'=r_1 \cdot \vec{u}</math> e <math>\vec{v}'=r_2 \cdot \vec{v}</math> tali che sommati diano il vettore <math>\vec{w}</math>. Dal punto <math>D</math> tracciamo la parallela alla retta <math>OC</math>, che interseca la retta <math>AO</math> nel punto <math>E</math>; dallo stesso punto <math>D</math> tracciamo la parallela alla retta <math>AO</math> che interseca in <math>F</math> la retta <math>OC</math>. I punti <math>E</math> ed <math>F</math> sono gli estremi dei due vettori <math>\vec{u}'</math> e <math>\vec{v}'</math> cercati: <math>\vec{u}'=\overrightarrow{OE}=r_1 \cdot \vec{u}</math> e <math>\vec{v}'=\overrightarrow{OF}=r_2 \cdot \vec{v}</math> con <math>r_1>1</math> e <math>r_2<1</math> rispettivamente ottenuti allungando e accorciando <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math>. Si ha quindi <math>\vec{w}=r_1 \cdot \vec{u} + r_2 \cdot \vec{v}</math>.<br /><br />
 
'''Il metodo algebrico'''&nbsp;
Dobbiamo trovare due numeri <math>r_1</math> e <math>r_2</math> tali che
{{Testo centrato|
<math>\vec{w}=r_1 \cdot \vec{u}+r_2 \cdot \vec{v} \quad\Rightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}
3=1 \cdot r_1+1 \cdot r_2 \quad\text{(componenti }x\text{)} \\
1=1 \cdot r_1-2 \cdot r_2 \quad\text{(componenti }y\text{)}
\end{array}\right.</math>}}
e risolvendo il sistema lineare di due equazioni in due incognite si ottiene <math>r_1=\tfrac{5}{3}</math> e <math>r_2=\tfrac{1}{3}</math>, coerentemente ai risultati della costruzione geometrica effettuata. }}
 
{{Algebra1/Definizione| Dati <math>n</math> vettori <math>\vec{v}_1</math>, <math>\vec{v}_2</math>, …, <math>\vec{v}_n</math>, questi si dicono ''linearmente indipendenti'' se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri. Se nessuno degli <math>n</math> vettori <math>\vec{v}_1</math>, <math>\vec{v}_2</math>, <math>\ldots</math>,, <math>\vec{v}_n</math> può essere scritto come combinazione lineare degli altri, i vettori si dicono ''linearmente indipendenti''. }}
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