Differenze tra le versioni di "Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Vettori"

== Operazioni con i vettori ==
 
 
=== Somma di vettori ===
{{Algebra1/Definizione| Nel punto <math>A</math> del piano sono applicati due vettori <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math>: dall’estremo <math>B</math> si traccia la retta parallela ad <math>AC</math> e da <math>C</math> la parallela ad <math>AB</math> indicando con <math>D</math> il loro punto di intersezione. Si definisce ''somma dei vettori'' <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math> il vettore <math>\vec{w}</math> individuato dalla diagonale <math>AD</math> del parallelogramma <math>ABDC</math> e si scrive <math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}</math>. }}
 
[[File:Algebra1 vtt fig008 vet.svg|center|Somma di due vettori]]
 
Nella sua opera “Philosophiae naturalis principia mathematica” del 1682, Isaac Newton<ref>matematico, fisico, filosofo, astronomo, teologo e alchimista inglese (1642 - 1727).
</ref> nel primo corollario alle leggi del moto, scrive: &lt;&lt;un corpo spinto da due forze congiunte descriverà la diagonale di un parallelogramma nello stesso tempo nel quale descriverebbe separatamente i lati&gt;&gt;.
 
Illustriamo con un esempio che per la somma di vettori vale la proprietà associativa.
 
{{Algebra1/Esempio1| Dimostriamo che vale <math>\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}</math>.<br />
 
[[File:Algebra1 vtt fig010a som.svg|center|verifica pr. associativa somma di vettori]]
 
Nella prima figura è realizzata la costruzione <math>\vec{v}+\vec{w}=\vec{k}</math> e <math>\vec{u}+\vec{k}=\vec{j}</math>. Nell'altra figura è realizzata la costruzione <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{z}</math> e <math>\vec{z}+\vec{w}=\vec{j}</math>. Sovrapponendo le due figure si può constatare che i due vettori <math>\vec{j}</math> risultanti coincidono. }}
 
[[File:Algebra1 vtt fig008 vet.svg|right|Somma di due vettori]]
Osserviamo che la validità della proprietà associativa ci permette di costruire la somma di più vettori. Per come è definita l’operazione di somma, pensando al vettore come rappresentante di uno spostamento dal primo estremo al secondo, possiamo interpretare la figura [fig:F.5] come lo spostamento di un punto prima da <math>A</math> fino a <math>B</math> e poi da questo fino a <math>D</math>, essendo <math>\overrightarrow{BD}</math> un vettore equipollente ad <math>\overrightarrow{AC}</math> (cambia soltanto il punto di applicazione). Quindi possiamo affermare che il vettore somma di due vettori <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math> si può determinare prendendo due vettori <math>\overrightarrow{AB}</math> e <math>\overrightarrow{BC}</math> rispettivamente equipollenti ai dati; se <math>\overrightarrow{AB} \equiv \vec{u}</math> e <math>\overrightarrow{BC} \equiv \vec{v}</math> allora la somma è il vettore <math>\overrightarrow{AC}</math> avente <math>A</math> come primo estremo e <math>C</math> come secondo estremo.
 
[[File:Algebra1 vtt fig011 som.svg|center|Somma di vettori]]
 
Pertanto la somma di più vettori si può semplicemente determinare scegliendo per ogni addendo il vettore equipollente avente il primo estremo nell’estremo finale dell’addendo precedente: la somma è il vettore avente il primo estremo nel punto iniziale del primo addendo e l’estremo finale nel secondo estremo dell’ultimo addendo.
 
{{Algebra1/Esempio1| Somma di più vettori: <math>\vec{z}+\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{s}</math>.<br />
 
[[File:Algebra1 vtt fig012 som.svg|center|Somma di più vettori]]
 
}}
 
 
Abbiamo visto come si costruisce geometricamente il vettore somma di vettori; vediamo come si determinano le componenti del vettore somma se la questione è posta nel riferimento cartesiano ortogonale.
 
{{Algebra1/Esempio1| Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale costruiamo il vettore somma dei vettori <math>\vec{u}(1;2)</math> e <math>\vec{v}(3;-1)</math> e determiniamone le componenti.<br />
 
Strategia risolutiva:
 
# posizioniamo i vettori <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math> con il punto di applicazione nell’origine del sistema cartesiano;
# costruiamo il vettore <math>\vec{w}</math> equipollente al vettore <math>\vec{v}</math> applicato al punto <math>A</math>;
# determiniamo il punto <math>D(4;1)</math>;
# costruiamo il vettore <math>\vec{z}=\vec{u}+\vec{v}</math> di coordinate <math>\vec{z}(4;1)</math>.
 
[[File:Algebra1 vtt fig013 som.svg|center|Componenti di un vettore]]
 
Osserviamo che il primo passo realizzato ci permette di affermare <math>x_z=x_u+x_v</math> e <math>y_z=y_u+y_v</math>. }}
 
{{Algebra1/Procedura| Note le componenti cartesiane dei vettori addendi <math>\vec{u}=(x_u;y_u)</math> e <math>\vec{v}=(x_v;y_v)</math> le componenti cartesiane del vettore somma <math>\vec{z}=(x_z;y_z)</math> si ottengono con la regola del parallelogramma:<br />
 
Il primo passo realizzato nella costruzione precedente ci permette di affermare che le componenti del vettore somma <math>\vec{z}</math> sono la somma delle componenti dei vettori addendi:
{{Testo centrato|
<math>x_z=x_u+x_v\quad\text{e}\quad y_z=y_u+y_v.</math>}} }}
 
'''Applicazioni dei vettori'''&nbsp;
I vettori sono degli enti geometrici che vengono spesso utilizzati in fisica per rappresentare tutte le grandezze che sono definite conoscendo modulo, direzione, verso e punto di applicazione. Esempi di grandezze vettoriali sono: la velocità, l’accelerazione, la forza, il campo elettrico.
 
{{Algebra1/Esempio1| Nella figura seguente sono rappresentate tre scatole viste dall’alto e su ognuna di esse agiscono due forze, come rappresentato in figura. Calcola la forza risultante <math>\vec{r}</math> in ognuno dei casi, sapendo che una forza ha modulo <math>4 \text{N}</math> e l’altra <math>9 \text{N}</math>.
 
[[File:Algebra1 vtt fig019 eser.svg|center|Esercizio sulle forze]]
 
''Svolgimento:''
 
# Nel primo caso (<math>A</math>) i due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso, quindi la risultante si ottiene addizionando semplicemente i due moduli: <math>|\vec{r}|=4 +9 =13 \text{N}</math>;
# Nel secondo caso (<math>B</math>) poiché i vettori sono opposti come verso, si procede sottraendo al vettore maggiore il vettore minore e la forza risultante ha la direzione ed il verso del vettore di modulo maggiore: <math>|\vec{r}|=9 - 5 =4 \text{N}</math>.
# Nel terzo caso (<math>C</math>) i due vettori hanno direzioni perpendicolari, quindi il vettore somma si ottiene con il metodo del parallelogramma. Il suo modulo si ottiene applicando il teorema di Pitagora:
{{Testo centrato|
<math>|\vec{r}|=\sqrt{4^2+9^2}=\sqrt{97}\simeq [N]{9,85}.</math>}}
}}
 
=== SommaDifferenza ditra vettori ===
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