Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Equazioni di primo grado: differenze tra le versioni

 
== Equazioni intere ==
 
In questo paragrafo vedremo come usare i principi d’equivalenza prima enunciati per condurre un’equazione alla forma canonica e dunque determinarne la soluzione.
 
{{Algebra1/Definizione| ''Risolvere un’equazione'' significa determinare il suo Insieme Soluzione. }}
 
Cominciamo con alcuni esempi.
 
{{Algebra1/Esempio1| Applicazione del 1 principio di equivalenza.
 
# <math>x-5=3</math>: aggiungiamo 5 a entrambi i membri: <math>x-5+5=3+5\Rightarrow x=8</math>, <math>\text{I.S.} =\{8\}.</math>
# <math>3x=2+2x</math>: sottraiamo <math>2x</math> a entrambi i membri: <math>3x-2x=2+2x-2x\Rightarrow x=2</math>, <math>\text{I.S.} =\{2\}</math>.
 
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Applicazione del 2 principio di equivalenza.
 
# <math>3x=12</math> dividiamo entrambi i membri per 3, si ha <math>\tfrac{3}{3}x=\tfrac{12}{3}\quad\Rightarrow\quad x=4\quad\to\quad\text{I.S.} =\{4\}.</math>
# <math>\tfrac{1}{2}x=2</math> moltiplichiamo entrambi i membri per 2, si ha <math>2\cdot {\tfrac{1}{2}}x=2\cdot 2\quad\Rightarrow\quad x=4\quad\to\quad\text{I.S.} =\{4\}.</math>
 
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| <math>-2x+1=3x-5</math>.
 
# Sottraiamo 1 a entrambi i membri <math>-2x+1-1=3x-5-1</math> quindi <math>-2x=3x-6</math>;
# sottraiamo <math>3x</math> a entrambi i membri <math>-2x-3x=3x-3x-6</math> quindi <math>-5x=-6</math>;
# dividiamo entrambi i membri per <math>-5</math>: <math>\tfrac{-5}{-5}x=\tfrac{-6}{-5}\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{6}{5}\quad\rightarrow\quad
\text{I.S.} =\left\{\tfrac{6}{5}\right\}.</math>
 
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| <math>(x+1)+3\cdot (2+x)=12x-1</math>.
 
# Svolgiamo i calcoli al primo e al secondo membro: <math>x+1+6+3x=12x-1</math>;
# sommiamo in ciascun membro i termini simili (se ce ne sono): <math>4x+7=12x-1</math>;
# sottraiamo ad ambo i membri il monomio <math>12x</math>, applicando il primo principio: <math>4x-12x+7=12x-1-12x</math>, sommiamo i monomi simili al primo e al secondo membro e otteniamo <math>-8x+7=-1</math>
# sottraiamo ad ambo i membri il numero 7, applicando il primo principio e sommiamo i termini simili: <math>-8x+7-7=-1-7\quad\Rightarrow\quad -8x=-8</math>;
# dividiamo ambo i membri per <math>-8</math>, applicando il secondo principio: <math>\tfrac{-8}{-8}x=\tfrac{-8}{-8}\quad\Rightarrow\quad x=1</math>.
 
L’equazione assegnata <math>(x+1)+3\cdot (2+x)=12x-1</math> risulta equivalente all’ultima trovata <math>x=1</math>, pertanto il suo insieme soluzione è <math>\text{I.S.} = \{1\}</math>. }}
 
{{Algebra1/Osservazione| La trasformazione di un’equazione nella forma canonica prevede che il termine con l’incognita sia collocato da una parte del segno uguale mentre dall’altra parte sia posto il termine numerico.}}
 
Enunciamo alcune ''regole pratiche'' che ci possono aiutare nella procedura risolutiva e che discendono direttamente dal primo principio d’equivalenza.
 
<ol>
<li><p>Spostando da un membro all’altro un addendo occorre cambiargli il segno; l’equazione ottenuta è equivalente a quella data.</p>
<p><math>2x-3=2</math>, per lasciare da sola la <math>x</math> al primo membro devo aggiungere <math>+3</math> al primo e al secondo membro, ottengo <math>2x-3+3=2+3</math> da cui <math>2x=2+3</math>.</p>
<p>L’effetto che si ha è che si è spostato il <math>-3</math> al secondo membro cambiandolo di segno (<math>+3</math>).</p></li>
<li><p>Se in entrambi i membri dell’equazione compare uno stesso addendo con lo stesso segno, esso può essere cancellato da entrambi i membri: l’equazione che si ottiene è equivalente a quella data.</p>
<p>Infatti: <math>2x-3+x=2+x</math>. La <math>x</math> che sta al secondo membro va portata al primo, cambiandola di segno <math>2x-3+x-x=2</math> da cui <math>2x-3=2</math>.</p>
<p>L’effetto che si ha è che si possono eliminare le due <math>x</math> che stanno una al primo membro e una al secondo membro.</p></li>
<li><p>Se il coefficiente dell’incognita è <math>-1</math>, l’equazione si presenta nella forma <math>-x=n</math>, si può cambiare di segno ai termini del primo e del secondo membro, per ottenere la forma <math>x=-n</math> che è equivalente a quella data.</p>
<p>Cambiare di segno equivale a moltiplicare per <math>-1</math> i due membri dell’equazione.</p>
<p>Infatti: <math>x-3=2x+1</math>. Dobbiamo portare <math>2x</math> al primo membro e <math>-3</math> al secondo membro, otteniamo <math>x-2x=3+1</math> da cui <math>-x=4</math>.</p>
<p>Poiché il coefficiente della <math>x</math> è negativo moltiplichiamo per <math>-1</math> primo e secondo membro <math>-1\cdot (-x)=-1\cdot (4)</math> da cui <math>x=-4</math>.</p></li></ol>
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvi l’equazione <math>5x+2\cdot (3-x)+1=-(4x-1)+2\cdot (6-x)</math> applicando le regole pratiche sopra descritte.
 
# svolgiamo i calcoli: <math>5x+6-2x+1=-4x+1+12-2x</math>;
# eliminiamo i termini uguali che compaiono nei due membri: <math>5x+6 \cancel{-2x}\cancel{+1}=-4x \cancel{+1}+12\cancel{-2x}\quad\Rightarrow\quad 5x+6=-4x+12;</math>
# spostiamo il monomio <math>-4x</math> del secondo membro a sinistra del segno uguale e il numero <math>+6</math> da sinistra a destra, ottenendo: <math>5x+4x=-6+12</math>;
# sommando i termini simili nei due membri, otteniamo <math>9x=+6</math> da cui, dividendo per 9 ambo i membri, si ottiene
{{Testo centrato|<math>x=\tfrac{2}{3}\quad\to\quad \text{I.S.} =\left\{\tfrac{2}{3}\right\}.</math>
}}
}}
 
=== Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di uno ===
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