Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Riga 636:
\left(t^{2}+tz+z^{2}+t+z\right).</math>}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| <math>P(x)=x^{{3}}-7x-6</math>.<br />
Il polinomio ha 3 termini, è di 3 grado in una variabile. Non possiamo utilizzare la regola del trinomio particolare poiché il grado è 3. Procediamo con la regola di Ruffini: cerchiamo il numero che annulla il polinomio nell’insieme dei divisori del termine noto <math>D=\{\pm 1\text{, }\pm 2\text{, }\pm 3\text{, }\pm 6\}</math>.<br />
Per <math>x=+1</math> si ha <math>P(+1)=(+1)^{3}-7\cdot (+1)-6=1-7-6\neq 0</math>.<br />
Per <math>x=-1</math> si ha <math>P(-1)=(-1)^{3}-7\cdot (-1)-6=-1+7-6=0</math>.<br />
Quindi <math>P(x)=\left(x+1\right)\cdot Q(x)</math> con <math>Q(x)</math> polinomio di secondo grado che determiniamo con la regola di Ruffini:
[[File:Algebra1 scm fig007 rufi.svg|right|Esempio di regola di Ruffini]]
Pertanto: <math>P(x)=x^{3}-7x-6=\left(x+1\right)\cdot \left(x^{2}-x-6\right)</math>.<br />
Il polinomio quoziente è un trinomio di secondo grado; proviamo a scomporlo come trinomio notevole. Cerchiamo due numeri <math>a</math> e <math>b</math> tali che <math>a+b=-1</math> e <math>a\cdot b=-6</math>. I due numeri vanno cercati tra le coppie che hanno <math>-6</math> come prodotto, precisamente <math>(-6\text{, }+1)</math>, <math>(-3\text{, }+2)</math>, <math>(+6\text{, }-1)</math>, <math>(+3\text{, }-2)</math>. La coppia che fa al caso nostro è <math>(-3\text{, }+2)</math> quindi si scompone <math>Q(x)=x^{2}-x-6=\left(x-3\right)\cdot \left(x+2\right)</math>.<br />
In definitiva <math>x^{{3}}-7x-6=\left(x+1\right)\cdot (x-3)\cdot (x+2)</math>.}}
{{Algebra1/Esempio1| <math>\left(m^{2}-4\right)^{2}-m^{2}-4m-4</math>.<br />
Il polinomio ha 4 termini di cui il primo è un quadrato di un binomio; negli altri tre possiamo raccogliere <math>-1</math>;
{{Testo centrato|
<math>\left(m^{2}-4\right)^{2}-m^{2}-4m-4=\left(m^{2}-4\right)^{2}-\left(m^{2}+4m+4\right)</math>}}
Notiamo che anche il secondo termine è un quadrato di un binomio, quindi:
{{Testo centrato|<math>\left(m^{2}-4\right)^{2}-\left(m+2\right)^{2}</math>}}
che si presenta come differenza di quadrati, allora diviene:
{{Testo centrato|<math>\left[\left(m^{2}-4\right)+\left(m+2\right)\right]\cdot
\left[\left(m^{2}-4\right)-\left(m+2\right)\right].</math>}}
Eliminando le parentesi tonde <math>\left(m^{2}+m-2\right)\cdot
\left(m^{2}-m-6\right)</math>.<br />
I due fattori ottenuti si scompongono con la regola del trinomio. In definitiva si ottiene:
{{Testo centrato|<math>\begin{aligned}
(m^{2}+m-2)\cdot (m^{2}-m-6)&=\left(m+2\right)\cdot\left(m-1\right)\cdot \left(m-3\right)\cdot
\left(m+2\right)\\
&=\left(m+2\right)^{2}\cdot \left(m-1\right)\cdot
\left(m-3\right).\end{aligned}</math>}}
Allo stesso risultato si poteva arrivare anche considerando che il termine <math>m^2-4</math> è anch’esso una differenza di quadrati. Quindi si ha
{{Testo centrato|<math>\left(m^{2}-4\right)^{2}-\left(m+2\right)^{2} = (m+2)^2\cdot (m-2)^2-(m+2)^{2}</math>}}
e mettendo in evidenza il fattore <math>\left(m+2\right)^{2}</math> si può scrivere
{{Testo centrato|<math>\left(m+2\right)^{2}\cdot \left[ \left( m-2 \right)^2 -1 \right].</math>}}
Svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi quadre si ottiene
{{Testo centrato|<math>\left(m+2\right)^{2}\cdot \left[ m^2-4m+4 -1 \right] = \left(m+2\right)^{2}\cdot \left[ m^2-4m+3 \right].</math>}}
A questo punto, per scomporre il fattore <math>m^2-4m+3</math> si deve cercare una coppia di numeri interi, tali che la loro somma sia <math>-4</math> ed il loro prodotto sia 3. La coppia di valori è <math>(-3\text{, }-1)</math> e quindi di può scrivere
{{Testo centrato|
<math>\begin{aligned}
\left(m^{2}-4\right)^2-m^2-4m-4 &=\left(m+2\right)^2\cdot \left( m^2-4m+3 \right)\\
&=\left(m+2\right)^{2}\cdot \left(m-1\right)\cdot \left(m-3\right).\end{aligned}</math>
}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| <math>\left(a-3\right)^{2}+\left(3a-9\right)\cdot\left(a+1\right)-\left(a^{2}-9\right)</math>.<br />
<math>\left(a-3\right)^{2}+\left(3a-9\right)\cdot\left(a+1\right)-\left(a^{2}-9\right)
=\left(a-3\right)^{2}+3\cdot \left(a-3\right)\cdot
\left(a+1\right)-\left(a-3\right)\cdot \left(a+3\right).</math><br />
Mettiamo a fattore comune <math>(a-3)</math>:
{{Testo centrato|<math>(a-3)\cdot \left[\left(a-3\right)+3\cdot
\left(a+1\right)-\left(a+3\right)\right].</math>}}
Svolgiamo i calcoli nel secondo fattore e otteniamo:
{{Testo centrato|
<math>(a-3)(a-3+3a+3-a-3)=(a-3)(3a-3)=3(a-3)(a-1).</math>
}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| <math>a^4+a^{2}b^{2}+b^4</math>.<br />
Osserva che per avere il quadrato del binomio occorre il doppio prodotto, aggiungendo e togliendo <math>a^{2}b^{2}</math> otteniamo il doppio prodotto cercato e al passaggio seguente ci troviamo con la differenza di quadrati:
{{Testo centrato|
<math>a^4+2a^2b^2+b^4 -a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(ab\right)^2
=\left(a^2+b^2+ab\right)\left(a^2+b^2-ab\right).</math>
}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| <math>a^{5}+2a^{4}b+a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}+2ab^{4}+b^{5}</math>.
{{Testo centrato|
<math>\begin{aligned}
a^{5}+2a^{4}b+a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}+2ab^{4}+b^{5}&=a^{3}\left(a^{2}+2ab+b^{2}\right)+b^{3}\left(a^{2}+2ab+b^{2}\right)\\
&=\left(a^{3}+b^{3}\right)\left(a^{2}+2ab+b^{2}\right)\\
&=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\left(a+b\right)^{2}\\
&=\left(a+b\right)^{3}\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).
\end{aligned}</math>
}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| <math>a^{2}x^{2}+2ax^{2}-3x^{2}-4a^{2}-8a+12</math>.
{{Testo centrato|
<math>\begin{aligned}
a^{2}x^{2}+2ax^{2}-3x^{2}-4a^{2}-8a+12&=x^{2}\left(a^{2}+2a-3\right)-4\left(a^{2}+2a-3\right)\\
&=\left(x^{2}-4\right)\left(a^{2}+2a-3\right)\\
&=(x+2)(x-2)(a-1)(a+3).\\
\end{aligned}</math>
}}
}}
== MCD e mcm tra polinomi ==
| |||