Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni
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Proponiamo di seguito alcuni esercizi svolti in modo che possiate acquisire una certa abilità nella scomposizione di polinomi.
{{Algebra1/Esempio1| <math>a^{2}x+5abx-36b^{2}x</math>.<br />
Il polinomio ha 3 termini, è di terzo grado in 2 variabili, è omogeneo; tra i suoi monomi si ha <math>\text{MCD}= x</math>; effettuiamo il raccoglimento totale: <math>x\cdot\left(a^{2}+5ab-36b^{2}\right)</math>. Il trinomio ottenuto come secondo fattore è di grado 2 in 2 variabili, omogeneo e può essere riscritto
{{Testo centrato|<math>a^{2}+\left(5b\right)\cdot a-36b^{2}.</math>}}
Proviamo a scomporlo come trinomio particolare: cerchiamo due monomi <math>m</math> ed <math>n</math> tali che <math>m+n=5b</math> e <math>m\cdot n=-36b^{2}</math>; i due monomi sono <math>m=9b</math> ed <math>n=-4b</math>;
{{Testo centrato|<math>a^{2}x+5abx-36b^{2}x=x\cdot\left(a+9b\right)\cdot \left(a-4b\right).</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| <math>x^{2}+y^{2}+2xy-2x-2y</math>.<br />
Facendo un raccoglimento parziale del coefficiente 2 tra gli ultimi tre monomi otterremmo <math>x^{2}+y^{2}+2\cdot(xy-x-y)</math> su cui non possiamo fare alcun ulteriore raccoglimento.<br />
I primi tre termini formano però il quadrato di un binomio e tra gli altri due possiamo raccogliere <math>-2</math>, quindi <math>(\underline{x+y})^{2}-2\cdot(\underline{x+y})</math>, raccogliendo <math>(x + y)</math> tra i due termini si ottiene
{{Testo centrato|<math>x^{2}+y^{2}+2xy-2x-2y=\left(x+y\right)\cdot \left(x+y-2\right).</math>}}
}}
{{Algebra1/Esempio1| <math>8a+10b+\left(1-4a-5b\right)^{2}-2</math>.<br />
Tra i monomi sparsi possiamo raccogliere 2 a fattore comune
{{Testo centrato|<math>2\cdot \left(4a+5b-1\right)+\left(1-4a-5b\right)^{2}.</math>}}
Osserviamo che la base del quadrato è l’opposto del polinomio contenuto nel primo termine. Ma poiché numeri opposti hanno lo stesso quadrato, possiamo cambiare il segno alla base del quadrato riscrivendo:
{{Testo centrato|<math>2\cdot\left(4a+5b-1\right)+\left(-1+4a+5b\right)^{2}.</math>}}
Quindi si può mettere a fattore comune il termine <math>(4a+5b-1)</math> ottenendo
{{Testo centrato|<math>\begin{aligned}
8a+10b+(1-4a-5b)^{2}-2&=\left(4a+5b-1\right)\cdot\left(2-1+4a+5b\right)\\
&=\left(4a+5b-1\right)\cdot\left(1+4a+5b\right).\end{aligned}</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| <math>t^{{3}}-z^{{3}}+t^{2}-z^{2}</math>.<br />
Il polinomio ha 4 termini, è di terzo grado in due variabili. Poiché due monomi sono nella variabile <math>t</math> e gli altri due nella variabile <math>z</math> potremmo subito effettuare un raccoglimento parziale: <math>t^{{3}}-z^{{3}}+t^{2}-z^{2}=t^{2}\cdot\left(t+1\right)-z^{2}\cdot \left(z+1\right)</math>, che non permette un ulteriore passo. Occorre quindi un’altra idea.<br />
Notiamo che i primi due termini costituiscono una differenza di cubi e gli altri due una differenza di quadrati; applichiamo le regole:
{{Testo centrato|<math>t^{{3}}-z^{{3}}+t^{2}-z^{2}=\left(t-z\right)\cdot
\left(t^{2}+tz+z^{2}\right)+\left(t-z\right)\cdot
\left(t+z\right).</math>}}
Ora effettuiamo il raccoglimento totale del fattore comune <math>(t-z)</math>
{{Testo centrato|<math>t^{3}-z^{3}+t^{2}-z^{2} = \left(t-z\right)\cdot
\left(t^{2}+tz+z^{2}+t+z\right).</math>}}
}}
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