Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni

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=== Somma e differenza di due cubi ===
 
Per scomporre i polinomi del tipo <math>A^{3}+B^{3}</math> e <math>A^{3}-B^{3}</math> possiamo utilizzare il metodo di Ruffini.
 
{{Algebra1/Esempio1| <math>x^{3}-8</math>.<br />
 
Il polinomio si annulla per <math>x=2</math>, che è la radice cubica di 8. Calcoliamo il quoziente.
 
[[File:Algebra1 scm fig005 rufi.svg|left|Esempio di regola di Ruffini]]
 
Il polinomio quoziente è <br />
 
<math>Q(x)=x^{2}+2x+4</math> e la scomposizione risulta
 
<math>x^{3}-8\ =\ (x-2)(x^{2}+2x+4).</math>
 
Notiamo che il quoziente somiglia al quadrato di un binomio, ma non lo è in quanto il termine intermedio è il prodotto e non il doppio prodotto dei due termini, si usa anche dire che è un “falso quadrato”. Un trinomio di questo tipo non è ulteriormente scomponibile.}}
 
{{Algebra1/Esempio1| <math>x^{3}+27</math>.<br />
 
[[File:Algebra1 scm fig006 rufi.svg|left|Esempio di regola di Ruffini]]
 
Il polinomio si annulla per <math>x=-3</math>, cioè <math>P(-3)=(-3)^{3}+27=-27+27=0</math>. Il polinomio quindi è divisibile per <math>x+3</math>. Calcoliamo il quoziente attraverso la regola di Ruffini.
 
Il polinomio quoziente è <math>Q(x)=x^{2}-3x+9</math> e la scomposizione risulta
{{Testo centrato|
<math>x^{3}+27=(x+3)(x^{2}-3x+9).</math>}} }}
 
In generale possiamo applicare le seguenti regole per la scomposizione di somma e differenza di due cubi:
 
{{Testo centrato|
<math>A^{3}+B^{3}=(A+B)(A^{2}-AB+B^{2})\text{,}</math>
 
<math>A^{3}-B^{3}=(A-B)(A^{2}+AB+B^{2}).</math>}}