Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni
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Riga 424:
{{Testo centrato|<math>x^{3}+x^{2}-10x+8=(x-1)\cdot (x^{2}+2x-8)=(x-1)(x-2)(x+4).</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| <math>x^{4}-5x^{3}-7x^{2}+29x+30</math>.<br />
Le radici intere vanno cercate tra i divisori di 30, precisamente in <math>\{\pm 1</math>, <math>\pm 2</math>, <math>\pm 3</math>, <math>\pm 5</math>, <math>\pm 6</math>, <math>\pm 10</math>, <math>\pm 15</math>, <math>\pm 30\}</math>. Sostituiamo questi numeri al posto della <math>x</math>, finché non troviamo la radice.<br />
Per <math>x=1</math> si ha <math>P(1)=1-5-7+29+30</math> senza effettuare il calcolo si nota che i numeri positivi superano quelli negativi, quindi 1 non è una radice.<br />
Per <math>x=-1</math> si ha
{{Testo centrato|<math>\begin{align}
P(-1)&=(-1)^{4}-5\cdot (-1)^{3}-7\cdot(-1)^{2}+29\cdot (-1)+30\\
&=+1+5-7-29+30\\
&=0.\end{align}</math>}}
Una radice del polinomio è quindi <math>-1</math>; utilizzando la regola di Ruffini abbiamo:
[[File:Algebra1 scm fig002 rufi.svg|center|Esempio della regola di Ruffini]]
Con i numeri che abbiamo ottenuto nell’ultima riga costruiamo il polinomio quoziente: <math>x^{3}-6x^{2}-1x+30</math>. Possiamo allora scrivere:
{{Testo centrato|<math>x^{4}-5x^{3}-7x^{2}+29x+30=(x+1)(x^{3}-6x^{2}-x+30).</math>}}
Con lo stesso metodo scomponiamo il polinomio <math>x^{3}-6x^{2}-1x+30</math>. Cerchiamone le radici tra i divisori di 30, precisamente nell’insieme <math>\{\pm 1</math>, <math>\pm 2</math>, <math>\pm 3</math>, <math>\pm 5</math>, <math>\pm 6</math>, <math>\pm 10</math>, <math>\pm 15</math>, <math>\pm 30\}</math>. Bisogna ripartire dall’ultima radice trovata, cioè da <math>-1</math>.<br />
Per <math>x=-1</math> si ha <math>P(-1)=(-1)^{3}-6\cdot (-1)^{2}-1\cdot (-1)+30=-1-6+1+30\neq 0</math>.<br />
Per <math>x=+2</math> si ha <math>P(+2)=(+2)^{3}-6\cdot (+2)^{2}-1\cdot (+2)+30=+8-24-2+30\neq 0</math>.<br />
Per <math>x=-2</math> si ha <math>P(-2)=(-2)^{3}-6\cdot (-2)^{2}-1\cdot (-2)+30=-8-24+2+30=0</math>.<br />
Quindi <math>-2</math> è una radice del polinomio. Applichiamo la regola di Ruffini, ricordando che nella prima riga dobbiamo mettere i coefficienti del polinomio da scomporre, cioè <math>x^{3}-6x^{2}-1x+30</math>.
[[File:Algebra1 scm fig003 rufi.svg|center|Esempio di regola di Ruffini]]
Il polinomio <math>q(x)</math> si scompone nel prodotto <math>x^{3}-6x^{2}-x+30=(x+2)\cdot (x^{2}-8x+15)</math>.<br />
Infine possiamo scomporre <math>x^{2}-8x+15</math> come trinomio notevole: i due numeri che hanno per somma <math>-8</math> e prodotto <math>+15</math> sono <math>-3</math> e <math>-5</math>. In conclusione possiamo scrivere la scomposizione:
{{Testo centrato|<math>x^{4}-5x^{3}-7x^{2}+29x+30=(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-3)\cdot (x-5).</math>}}
Non sempre è possibile scomporre un polinomio utilizzando solo numeri interi. In alcuni casi possiamo provare con le frazioni, in particolare quando il coefficiente del termine di grado maggiore non è 1. In questi casi possiamo cercare la radice del polinomio tra le frazioni del tipo <math>\tfrac{p}{q}</math>, dove <math>p</math> è un divisore del termine noto e <math>q</math> è un divisore del coefficiente del termine di grado maggiore.}}
{{Algebra1/Esempio1| <math>6x^{2}-x-2.</math><br />
Determiniamo prima di tutto l’insieme nel quale possiamo cercare le radici del polinomio. Costruiamo tutte le frazioni del tipo <math>\tfrac{p}{q}</math>, con <math>p</math> divisore di <math>-2</math> e <math>q</math> divisore di <math>6</math>. I divisori di 2 sono <math>\{\pm 1</math>, <math>\pm 2\}</math> mentre i divisori di 6 sono <math>\{\pm 1</math>, <math>\pm 2</math>, <math>\pm 3</math>, <math>\pm 6\}</math>. Le frazioni tra cui cercare sono
{{Testo centrato|<math>\left\{\pm {\tfrac{1}{1}}\text{, }\pm \tfrac{1}{2}\text{, }\pm \tfrac{2}{1}\text{, }\pm
\tfrac{2}{3}\text{, }\pm \tfrac{2}{6}\right\}</math>}}
cioè
{{Testo centrato|<math>\left\{\pm 1\text{, }\pm\tfrac{1}{2}\text{, }\pm 2\text{, }\pm \tfrac{2}{3}\text{, }\pm \tfrac{1}{3}\right\}.</math>}}
Si ha <math>\quad A(1)=-3;\quad A(-1)=5;\quad A\left(\tfrac{1}{2}\right)=-1;\quad A\left(-{\tfrac{1}{2}}\right)=0</math>.<br />
Sappiamo dal teorema di Ruffini che il polinomio <math>A(x)=6x^{2}-x-2</math> è divisibile per <math>\left(x+\tfrac{1}{2}\right)</math> dobbiamo quindi trovare il polinomio <math>Q(x)</math> per scomporre <math>6x^{2}-x-2</math> come <math>Q(x)\cdot \left(x+\tfrac{1}{2}\right)</math>.
[[File:Algebra1 scm fig004 rufi.svg|left|Esempio di regola di Ruffini]]
Applichiamo la regola di Ruffini per trovare il quoziente. Il quoziente è <math>Q(x)=6x-4</math>. Il polinomio sarà scomposto in <math>(6x-4)\cdot\left(x+\tfrac{1}{2}\right)</math>. Mettendo a fattore comune 2 nel primo binomio si ha:
{{Testo centrato| <math>6x^{2}-x-2\ =\ (6x-4)
\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\ =\ 2(3x-2)\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\ =(3x-2)(2x+1).</math>}} }}
=== Somma e differenza di due cubi ===
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