Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni

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=== Scomposizione con la regola Ruffini ===
 
Anche il teorema di Ruffini permette di scomporre in fattori i polinomi. Dato il polinomio <math>P(x)</math>, se riusciamo a trovare un numero <math>k</math> per il quale <math>P(k)=0</math>, allora <math>P(x)</math> è divisibile per il binomio <math>x-k</math>, allora possiamo scomporre <math>P(x)=(x-k)\cdot Q(x)</math>, dove <math>Q(x)</math> è il quoziente della divisione tra <math>P(x)</math> e <math>(x-k)</math>.
 
Il problema di scomporre un polinomio <math>P(x)</math> si riconduce quindi a quello della ricerca del numero <math>k</math> che sostituito alla <math>x</math> renda nullo il polinomio. Un numero di questo tipo si dice anche ''radice del polinomio''.
 
Il numero <math>k</math> non va cercato del tutto a caso, abbiamo degli elementi per restringere il campo di ricerca di questo numero quando il polinomio è a coefficienti interi.
 
{{Algebra1/Osservazione| Le radici intere del polinomio vanno cercate tra i divisori del termine noto.}}
 
{{Algebra1/Esempio1| <math>P(x)=x^{3}+x^{2}-10x+8</math>.<br />
 
Le radici intere del polinomio sono da ricercare nell’insieme dei divisori di 8, precisamente in <math>\{\pm 1</math>, <math>\pm 2</math>, <math>\pm 4</math>, <math>\pm 8\}</math>. Sostituiamo questi numeri nel polinomio, finché non troviamo quello che lo annulla.
 
Per <math>x=1</math> si ha <math>p(1)=(1)^{3}+(1)^{2}-10\cdot (1)+8=1+1-10+8=0</math>, pertanto il polinomio è divisibile per <math>x-1</math>.
 
Utilizziamo la regola di Ruffini per dividere <math>P(x)</math> per <math>x-1</math>.
 
[[File:Algebra1 scm fig001 rufi.svg|left|Esempio di regola di Ruffini]]
 
Predisponiamo una griglia come quella a fianco, nella prima riga mettiamo i coefficienti di <math>P(x)</math>, nella seconda riga mettiamo come primo numero la radice che abbiamo trovato, cioè 1. Poi procediamo come abbiamo già indicato per la regola di Ruffini.
 
I numeri che abbiamo ottenuto nell’ultima riga sono i coefficienti del polinomio quoziente: <math>q(x)=x^{2}+2x-8</math>.
 
Possiamo allora scrivere:
 
{{Testo centrato|<math>x^{3}+x^{2}-10x+8=(x-1)\cdot (x^{2}+2x-8).</math>}}
 
Per fattorizzare il polinomio di secondo grado <math>x^{2}+2x-8</math> possiamo ricorrere al metodo del trinomio notevole. Cerchiamo due numeri la sui somma sia <math>+2</math> e il cui prodotto sia <math>-8</math>. Questi numeri vanno cercati tra le coppie che danno per prodotto <math>-8</math> e precisamente tra le seguenti coppie <math>(+8;-1)</math>, <math>(-8;+1)</math>, <math>(+4;-2)</math>, <math>(-4;+2)</math>. La coppia che dà per somma <math>+2</math> è <math>(+4;-2)</math>. In definitiva si ha:
 
{{Testo centrato|<math>x^{3}+x^{2}-10x+8=(x-1)\cdot (x^{2}+2x-8)=(x-1)(x-2)(x+4).</math>}} }}