Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni
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=== Differenza di due quadrati ===
Un binomio che sia la differenza dei quadrati di due monomi può essere scomposto come prodotto tra la somma dei due monomi (basi dei quadrati) e la loro differenza.
{{Testo centrato|<math>(A+B)\cdot (A-B)=A^{2}-B^{2}\quad \Rightarrow \quad A^{2}-B^{2}=(A+B)\cdot (A-B).</math>}}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>\tfrac{4}{9}a^{4}-25b^{2}</math>.<br />
{{Testo centrato|<math>\tfrac{4}{9}a^{4}-25b^{2}=\left(\tfrac{2}{3}a^{2}\right)^{2}-\left(5b\right)^{2}=\left(\tfrac{2}{3}a^{2}+5b\right)
\cdot \left(\tfrac{2}{3}a^{{2}}-5b\right).</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>-x^{6}+16y^{2}</math>.
{{Testo centrato|<math>-x^{6}+16y^{2}=-\left(x^{3}\right)^{2}+\left(4y\right)^{2}=\left(x^{3}+4y\right)\cdot \left(-x^{3}+4y\right).</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>a^{2}-\left(x+1\right)^{2}</math>.La formula precedente vale anche se <math>A</math> e <math>B</math> sono polinomi. Quindi
{{Testo centrato|<math>a^{2}-\left(x+1\right)^{2}=\left[a+(x+1)\right]\cdot \left[a-(x+1)\right]=(a+x+1)(a-x-1)</math>.}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>\left(2a-b^{2}\right)^{2}-(4x)^{2}</math>.
{{Testo centrato|<math>\left(2a-b^{2}\right)^{2}-(4x)^{2}=\left(2a-b^{2}+4x\right)\cdot \left(2a-b^{2}-4x\right).</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>(a+3b)^{2}-(2x-5)^{2}</math>.
{{Testo centrato|<math>(a+3b)^{2}-(2x-5)^{2}=(a+3b+2x-5)\cdot (a+3b-2x+5).</math>}} }}
Per questo tipo di scomposizioni, la cosa più difficile è riuscire a riconoscere un quadrinomio o un polinomio di sei termini come differenza di quadrati. Riportiamo i casi principali:
* <math>(A+B)^{2}-C^{2}=A^{{2}}+2AB+B^{2}-C^{2}</math>;
* <math>A^{2}-(B+C)^{2}=A^{2}-B^{2}-2BC-C^{2}</math>;
* <math>(A+B)^{2}-(C+D)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}-C^{2}-2CD-D^{2}</math>.
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>4a^{2}-4b^{2}-c^{2}+4bc</math>.<br />
Gli ultimi tre termini possono essere raggruppati per formare il quadrati di un binomio.
{{Testo centrato|<math>\begin{align}
4a^{2}-4b^{2}-c^{2}+4bc &=4a^{2}-\left(4b^{2}+c^{2}-4bc\right) \\
&= (2a)^{2}-(2b-c)^{2}=(2a+2b-c)\cdot (2a-2b+c).
\end{align}</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>4x^{4}-4x^{2}-y^{2}+1</math>.
{{Testo centrato|<math>4x^{4}-4x^{2}-y^{2}+1=\left(2x^{2}-1\right)^{2}-(y)^{2}=(2x^{2}-1+y)\cdot (2x^{2}-1-y).</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>a^{2}+1+2a+6bc-b^{2}-9c^{2}</math>.
{{Testo centrato|<math>\begin{align}
a^{2}+1+2a+6bc-b^{2}-9c^{2} &=\left(a^{2}+1+2a\right)-\left(b^{2}+9c^{2}-6{bc}\right) \\
&= (a+1)^{2}-(b-3c)^{2}=(a+1+b-3c)\cdot (a+1-b+3c).
\end{align}</math>}} }}
== Altre tecniche di scomposizione ==
=== Trinomi particolari ===
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