Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni
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== Riconoscimento di prodotti notevoli ==
=== Quadrato di un binomio ===
Uno dei metodi più usati per la scomposizione di polinomi è legato al saper riconoscere i prodotti notevoli. Se abbiamo un trinomio costituito da due termini che sono quadrati di due monomi ed il terzo termine è uguale al doppio prodotto degli stessi due monomi, allora il trinomio può essere scritto sotto forma di quadrato di un binomio, secondo la regola che segue:
{{Testo centrato|<math>(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\quad \Rightarrow \quad A^{2}+2AB+B^{2}=(A+B)^{2}.</math>}}
Analogamente nel caso in cui il monomio che costituisce il doppio prodotto sia negativo:
{{Testo centrato|<math>(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}\quad \Rightarrow \quad A^{2}-2AB+B^{2}=(A-B)^{2}.</math>}}
Poiché il quadrato di un numero è sempre positivo, valgono anche le seguenti uguaglianze
{{Testo centrato|<math>(A+B)^{2}=(-A-B)^{2}\quad\Rightarrow\quad A^{2}+2AB+B^{2}=(A+B)^{2}=(-A-B)^{2}</math>
<math>(A-B)^{2}=(-A+B)^{2}\quad \Rightarrow \quad A^{2}-2AB+B^{2}=(A-B)^{2}=(-A+B)^{2}.</math>}}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>4a^{2}+12ab^{2}+9b^{4}</math>.<br />
Notiamo che il primo ed il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di <math>2a</math> e di <math>3b^{2}</math>, ed il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, pertanto possiamo scrivere:
{{Testo centrato|<math>4a^{2}+12{ab}^{2}+9b^{4}=(2a)^{2}+2\cdot (2a)\cdot (3b^{2})+\left(3b^{2}\right)^{2}=\left(2a+3b^{2}\right)^{2}.</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>x^{2}-6x+9</math>.<br />
Il primo ed il terzo termine sono quadrati, il secondo termine compare con il segno “meno”. Dunque: <math>x^{2}-6x+9=x^{2}-2\cdot 3\cdot x+3^{2}=(x-3)^{2}</math>, ma anche <math>x^{2}-6x+9=(-x+3)^{2}</math>. }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>x^{4}+4x^{2}+4</math>.<br />
Può accadere che tutti e tre i termini siano tutti quadrati. <math>x^{4}+4x^{2}+4</math> è formato da tre quadrati, ma il secondo termine, quello di grado intermedio, è anche il doppio prodotto dei due monomi di cui il primo ed il terzo termine sono i rispettivi quadrati. Si ha dunque:
{{Testo centrato|<math>x^{4}+4x^{2}+4=\left(x^{2}\right)^{2}+2\cdot (2)\cdot (x^{2})+(2)^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}.</math>}} }}
{{Algebra1/Procedura|title = Individuare il quadrato di un binomio:|
# individuare le basi dei due quadrati;
# verificare se il terzo termine è il doppio prodotto delle due basi;
# scrivere tra parentesi le basi dei due quadrati e il quadrato fuori dalla parentesi;
# mettere il segno “più” o “meno” in accordo al segno del termine che non è un quadrato.
}}
Può capitare che i quadrati compaiano con il coefficiente negativo, ma si può rimediare mettendo in evidenza il segno “meno”.
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>-9a^{2}+12{ab}-4b^{2}</math>.<br />
Mettiamo <math>-1</math> a fattore comune <math>-9a^{2}+12ab-4b^{2}=-(9a^{2}-12{ab}+4b^{2})=-(3a-2b)^{2}</math>. }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>-x^{4}-x^{2}-\tfrac{1}{4}</math>.
{{Testo centrato|<math>-x^{4}-x^{2}-\tfrac{1}{4}=-\left(x^{4}+x^{2}+\tfrac{1}{4}\right)=-\left(x^{2}+\tfrac{1}{2}\right)^{2}.</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>-x^{2}+6xy^{2}-9y^{4}</math>.
{{Testo centrato|<math>x^{2}+6xy^{2}-9y^{4}=-\left(x^{2}-6xy^{2}+9y^{4}\right)=-\left(x-3y^{2}\right)^{2}.</math>}} }}
Possiamo avere un trinomio che “diventa” quadrato di binomio dopo aver messo qualche fattore comune in evidenza.
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>2a^{3}+20a^{2}+50a</math>.<br />
Mettiamo a fattore comune <math>2a</math>, allora <math>2a^{3}+20a^{2}+50a=2a(a^{2}+10a+25)=2a(a+5)^{2}</math>. }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>2a^{2}+4a+2</math>.
{{Testo centrato|<math>2a^{2}+4a+2=2\left(a^{2}+2a+1\right)=2(a+1)^{2}.</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>-12a^{3}+12a^{2}-3a</math>.
{{Testo centrato|<math>-12a^{3}+12a^{2}-3a=-3a\left(4a^{2}-4a+1\right)=-3a(2a-1)^{2}.</math>}} }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>\tfrac{3}{8}a^{2}+3ab+6b^{2}</math>.
{{Testo centrato|
<math>\tfrac{3}{8}a^{2}+3ab+6b^{2}=\tfrac{3}{2}\left(\tfrac{1}{4}a^{2}+2ab+4b^{2}\right)=\tfrac{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}a+2b\right)^{2}\text{,}</math>}}
o anche
{{Testo centrato|<math>\tfrac{3}{8}a^{2}+3ab+6b^{2}=\tfrac{3}{8}\left(a^{2}+8ab+16b^{2} \right)=\tfrac{3}{8}\left(a+4b\right)^{2}.</math>}} }}
=== Quadrato di un polinomio ===
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