Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni

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== Raccoglimento parziale a fattore comune ==
 
Quando un polinomio non ha alcun fattore comune a tutti i suoi termini, possiamo provare a mettere in evidenza tra gruppi di monomi e successivamente individuare il polinomio in comune.
 
Osserviamo il prodotto <math>(a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz</math>. Supponiamo ora di avere il polinomio <math>ax+ay+az+bx+by+bz</math> come possiamo fare a tornare indietro per scriverlo come prodotto di polinomi?
 
{{Algebra1/Esempio1| Scomponiamo in fattori <math>ax+ay+az+bx+by+bz</math>. Non c’è nessun fattore comune a tutto il polinomio.<br />
Proviamo a mettere in evidenza per gruppi di termini. Evidenziamo <math>a</math> tra i primi tre termini e <math>b</math> tra gli ultimi tre, avremo: <math>a(x+y+z)+b(x+y+z)</math>. Ora risulta semplice vedere che il trinomio <math>(x+y+z)</math> è in comune e quindi lo possiamo mettere in evidenza <math>ax+ay+az+bx+by+bz=a(x+y+z)+b(x+y+z)=(x+y+z)(a+b)</math>. }}
 
{{Algebra1/Procedura| Eseguire il raccoglimento parziale.
 
# Dopo aver verificato che non è possibile effettuare un raccoglimento a fattore comune totale raggruppo i monomi in modo che in ogni gruppo sia possibile mettere in comune qualche fattore;
# verifico se la nuova scrittura del polinomio ha un polinomio (binomio, trinomio, …) comune a tutti i termini;
# se è presente il fattore comune a tutti i termini lo metto in evidenza;
# se il fattore comune non è presente la scomposizione è fallita, allora posso provare a raggruppare diversamente i monomi o abbandonare questo metodo.
 
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>ax+ay+bx+ab</math>.
 
# Provo a mettere in evidenza la <math>a</math> nel primo e secondo termine e la <math>b</math> nel terzo e quarto termine: <math>ax+ay+bx+ab=a(x+y)+b(x+a)</math>;
# in questo caso non c’è nessun fattore comune: il metodo è fallito. In effetti il polinomio non si può scomporre in fattori.
 
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>bx-2ab+2ax-4a^{2}</math>.
 
# Non vi sono fattori da mettere a fattore comune totale, proviamo con il raccoglimento parziale: <math>b</math> nei primi due monomi e <math>2a</math> negli altri due;
# <math>\underline{bx} -\underline{2ab}+\underline{\underline{2ax}}-\underline{\underline{4a^{2}}}=b(\underline{x-2a})+2a(\underline{x-2a})=(x-2a)(b+2a)</math>.
 
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>bx^{3}+2x^{2}-bx-2+abx+2a</math>.
 
# Raggruppiamo nel seguente modo: <math>\underline{bx^{3}}+\underline{\underline {2x^{2}}}-\underline{bx}-\underline{\underline 2}
+\underline{abx}+\underline{\underline{2a}}</math> tra quelli con sottolineatura semplice metto a fattore comune <math>bx</math>, tra quelli con doppia sottolineatura metto a fattore comune <math>2</math>;
# <math>\underline{bx^{3}}+\underline{\underline {2x^{2}}}-\underline{bx}-\underline{\underline{2}}+\underline{abx}+\underline{\underline{2a}}
=bx\bigl(\underline{x^{2}-1+a}\bigr)+2\bigl(\underline{x^{2}-1+a}\bigr)=\bigl(x^{2}-1+a\bigr)\bigl(bx+2\bigr)</math>.
 
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>5ab^{2}-10abc-25abx+50acx</math>.
 
# Il fattore comune è <math>5a</math>, quindi:
#* <math>5ab^{2}-10abc-25abx+50acx=5a\bigl(b^{2}-2bc-5bx+10cx\bigr)</math>;
# vediamo se è possibile scomporre il polinomio in parentesi con un raccoglimento parziale <math>5a(\underline{b^{2}}-\underline{2bc}-\underline{\underline{5bx}}+\underline{\underline{10cx}})=5a\bigl[b(\underline{b-2c})-5x(\underline{b-2c})\bigr]=5a(b-2c)(b-5x)</math>.
 
}}
 
== Riconoscimento di prodotti notevoli ==