Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni
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Nuova pagina: Scomporre un polinomio in fattori significa scrivere il polinomio come il prodotto di polinomi e monomi che moltiplicati tra loro danno come risultato il polinomio stesso. Si può... |
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== Raccoglimento totale a fattore comune ==
Questo è il primo metodo che si deve cercare di utilizzare per scomporre un polinomio. Il metodo si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
Prendiamo in considerazione il seguente prodotto:
{{Testo centrato|<math>a(x+y+z)=ax+ay+az</math>}}
Il nostro obiettivo è ora quello di procedere da destra verso sinistra, cioè avendo il polinomio <math>ax+ay+az</math> come possiamo fare per individuare il prodotto che lo ha generato? In questo caso semplice possiamo osservare che i tre monomi contengono tutti la lettera <math>a</math>, che quindi si può mettere in comune, o come anche si dice “in evidenza”. Perciò scriviamo
{{Testo centrato|<math>ax+ay+az=a(x+y+z).</math>}}
{{Algebra1/Esempio1| Analizziamo la scomposizione in fattori <math>3a^{2}b\left(2a^{3}-5b^{2}-7c\right)</math>.
{{Testo centrato|
<math>\begin{align}
3a^{2}b\left(2a^{3}-5b^{2}-7c\right) &=3a^{2}b(2a^{3})+3a^{2}b(-5b^{2})+3a^{2}b(-7c)\\
&=6a^{5}b-15a^{2}b^{3}-21a^{2}bc.
\end{align}</math>}}
L’ultima uguaglianza, letta da destra verso sinistra, è il raccoglimento totale a fattore comune. Partendo da <math>6a^{5}b-15a^{2}b^{3}-21a^{2}bc</math> possiamo notare che i coefficienti numerici <math>6</math>, <math>15</math> e <math>21</math> hanno il <math>3</math> come fattore in comune. Notiamo anche che la lettera <math>a</math> è in comune, come la lettera <math>b</math>. Raccogliendo tutti i fattori comuni si avrà il prodotto <math>3a^{2}b\left(2a^{3}-5b^{2}-7c\right)</math> di partenza. }}
{{Algebra1/Procedura| Mettere in evidenza il fattore comune:
# trovare il <math>\text{MCD}</math> di tutti i termini che formano il polinomio: tutti i fattori in comune con l’esponente minimo con cui compaiono;
# scrivere il polinomio come prodotto del <math>\text{MCD}</math> per il polinomio ottenuto dividendo ciascun monomio del polinomio di partenza per il <math>\text{MCD}</math>;
# verificare la scomposizione eseguendo la moltiplicazione per vedere se il prodotto dà come risultato il polinomio da scomporre.
}}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>5a^{2}x^{2}-10ax^{5}</math>.
# Tra i coefficienti numerici il fattore comune è <math>5</math>,tra la parte letterale sono in comune le lettere <math>a</math> e <math>x</math>, la <math>a</math> con esponente <math>1</math>, la <math>x</math> con esponente <math>2</math>, pertanto il <math>\text{MCD}</math> è <math>5ax^{2}</math>;
# passiamo quindi a scrivere <math>5a^{2}x^{2}-10ax^{5}=5ax^{2}(\ldots \ldots \ldots)</math>, nella parentesi vanno i monomi che si ottengono dalle divisioni <math>5a^{2}x^{2}:5ax^{2}=a</math> e <math>-10ax^{5}:5ax^{2}=-2x^{3}</math>. Quindi: <math>5a^{2}x^{2}-10ax^{5}=5ax^{2}(a-2x^{3})</math>;
# verifica: <math>5ax^{2}(a-2x^{3})=5a^{2}x^{2}-10ax^{5}</math>.
}}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>10x^{5}y^{3}z-15x^{3}y^{5}z-20x^{2}y^{3}z^{2}</math>.
# Trovo tutti i fattori comuni con l’esponente minore per formare il <math>\text{MCD}</math>. <math>\text{MCD}=5x^{2}y^{3}z</math>;
#* divido ciascun termine del polinomio per <math>5x^{2}y^{3}z</math>:
<math>10x^{5}y^{3}z:5x^{2}y^{3}z=2x^{3}</math>,<math>-15x^{3}y^{5}z:5x^{2}y^{3}z=-3xy^{2}</math>,<math>-20x^{2}y^{3}z^{2}:5x^{2}y^{3}z=-4z</math>,
#* il polinomio si può allora scrivere come <math>5x^{2}y^{3}z (2x^{3}-3xy^{2}-4z)</math>.
Il fattore da raccogliere a fattore comune può essere scelto con il segno <math>+</math> (positivo) o con il segno <math>{}-{}</math> (negativo). Nell’esempio precedente è valida anche la seguente scomposizione: <math>10x^{5}y^{3}z-15x^{3}y^{5}z-20x^{2}y^{3}z^{2}=-5x^{2}y^{3}z (-2x^{3}+3xy^{2}+4z)</math>. }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>-8x^{2}y^{3}+10x^{3}y^{2}</math>.
# Poiché il primo termine è negativo possiamo mettere a fattore comune un numero negativo. Tra 8 e 10 il <math>\text{MCD}</math> è 2. Tra <math>x^{2}y^{3}</math> e <math>x^{3}y^{2}</math> mettiamo a fattore comune le lettere <math>x</math> e <math>y</math>, entrambe con esponente <math>2</math>, perché è il minimo esponente con cui compaiono. In definitiva il monomio da mettere a fattore comune è <math>-2x^{2}y^{2}</math>;
# pertanto possiamo cominciare a scrivere <math>-2x^{2}y^{2}(\ldots \ldots \ldots)</math>; eseguiamo le divisioni <math>-8x^{2}y^{3}:(-2x^{2}y^{2})=+4y</math> e <math>10x^{3}y^{2}:(-2x^{2}y^{2})=-5x</math>. I quozienti trovati <math>+4y</math> e <math>-5x</math> vanno nelle parentesi.
In definitiva <math>-8x^{2}y^{3}+10x^{3}y^{2}=-2x^{2}y^{2}(4y-5x)</math>. }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>6a(x-1)+7b(x-1)</math>.
# Il fattore comune è <math>(x-1)</math>, quindi il polinomio si può scrivere come <math>(x-1)\cdot [\ldots \ldots \ldots]</math>;
# nella parentesi quadra scriviamo i termini che si ottengono dalle divisioni:
#* <math>6a(x-1):(x-1)=6a</math>,<math>7b(x-1):(x-1)=7b</math>.
In definitiva <math>6a(x-1)+7b(x-1)=(x-1)(6a+7b)</math>. }}
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori <math>10(x+1)^{2}-5a(x+1)</math>.
# Il fattore comune è <math>5(x+1)</math>, quindi possiamo cominciare a scrivere <math>5(x+1)\cdot [\ldots \ldots \ldots]</math>;
# nella parentesi quadra scriviamo i termini che si ottengono dalle divisioni:
#* <math>10(x+1)^{2}:5(x+1)=2(x+1)</math>,<math>-5a(x+1):5(x+1)=a</math>.
In definitiva <math>10(x+1)^{2}-5a(x+1)=5(x+1)\bigl[2(x+1)-a \bigr]</math>. }}
== Raccoglimento parziale a fattore comune ==
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