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Algebra 1/Calcolo Letterale/Polinomi: differenze tra le versioni

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== Definizioni fondamentali ==
 
{{Algebra1/Definizione| Un ''polinomio'' è un’espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi. }}▼
{{Algebra1/Definizione|
▲Un polinomio è un’espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Sono polinomi:  <math>6a+2b</math>, <math>5a^2b+3b^2</math>, <math>6x^2-5y^2x-1</math>, <math>7ab-2a^2b^3+4</math>. }}▼
{{Algebra1/Esempio|
▲Sono polinomi: <math>6a+2b</math>, <math>5a^2b+3b^2</math>, <math>6x^2-5y^2x-1</math>, <math>7ab-2a^2b^3+4</math>.
}}
 
Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice in ''forma normale'' o ''ridotto''; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando algebricamente i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale.
 
Un polinomio in forma normale può presentare, tra i suoi termini, un monomio di grado  0 che viene comunemente chiamato ''termine noto''.
 
{{Algebra1/Esempio1| Il polinomio  <math>3ab+b^2-2ba+4-6ab^2+5b^2</math> ridotto in forma normale diventa  <math>ab+6b^2-6ab^2+4</math>. Il termine noto è  <math>4</math>. }}▼
{{Algebra1/Esempio|
▲Il polinomio <math>3ab+b^2-2ba+4-6ab^2+5b^2</math> ridotto in forma normale diventa <math>ab+6b^2-6ab^2+4</math>. Il termine noto è <math>4</math>.
}}
 
Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, pertanto un monomio è anche un polinomio. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.
 
{{Algebra1/EsempioEsempio1| Binomi, trinomi, quadrinomi.
 
Binomi, trinomi, quadrinomi.
*# <math>xy-5x^3y^2</math> è un binomio;▼
*# <math>3ab^2 +a-4a^3</math> è un trinomio;▼
*# <math>a-6ab^2+3ab-5b</math> è un quadrinomio.▼
 
▲* <math>xy-5x^3y^2</math> è un binomio;
▲* <math>3ab^2 +a-4a^3</math> è un trinomio;
▲* <math>a-6ab^2+3ab-5b</math> è un quadrinomio.
}}
 
{{Algebra1/Definizione| Due polinomi, ridotti in forma normale, formati da termini uguali si dicono ''uguali'', più precisamente vale il ''principio di identità dei polinomi'': due polinomi  <math>p(x)</math> e  <math>q(x)</math> sono uguali se, e solo se, sono uguali i coefficienti dei rispettivi termini simili.▼
{{Algebra1/Definizione|
▲Due polinomi, ridotti in forma normale, formati da termini uguali si dicono ''uguali'', più precisamente vale il ''principio di identità dei polinomi'': due polinomi <math>p(x)</math> e <math>q(x)</math> sono uguali se, e solo se, sono uguali i coefficienti dei termini simili.
 
Se due polinomi sono invece formati da tutti termini opposti, allora si dicono polinomi ''opposti''.
 
Definiamo, inoltre, un polinomio ''nullo'' quando i suoi termini sono a coefficienti nulli. Il polinomio nullo coincide con il monomio nullo e quindi con il numero  0. }}
}}
 
{{Algebra1/EsempioEsempio1| Polinomi uguali, opposti, nulli.
title=Polinomi uguali, opposti, nulli.|
 
*# I polinomi <math>\quad \fractfrac{1}{3}xy+2y^3-x</math>;e <math>\quad~2y^3-x+\fractfrac{1}{3}xy \quad</math> sono uguali;
*# i polinomi <math>\quad~6ab-3a+2b</math>;e <math>\quad~3a-2b-6ab \quad</math> sono opposti;
*# il polinomio  <math>\quad~7ab+4a^2-ab+b^3-4a^2-2b^3-6ab+b^3 \quad</math> è un polinomio nullo, infatti riducendolo in forma normale otteniamo il monomio nullo  <math>0</math>.
}}
 
{{Algebra1/Definizione|
Il ''grado complessivo'' (o semplicemente ''grado'') di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini. Si chiama, invece, ''grado di un polinomio rispetto ad una data lettera'' l’esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio, dopo che è stato ridotto a forma normale.▼
}}
 
▲{{Algebra1/Definizione| Il ''grado complessivo'' (o semplicemente ''grado'') di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini. Si chiama, invece, ''grado di un polinomio rispetto ad una data lettera'' l’esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio, dopo che è stato ridotto a forma normale. }}
{{Algebra1/Esempio|
title=Grado di un polinomio.|▼
 
▲title={{Algebra1/Esempio1| Grado di un polinomio.|
* Il polinomio <math>2ab+3-4a^2b^2</math> ha grado complessivo <math>4</math> perché il monomio con grado massimo è <math>-4a^2b^2 </math>, che è un monomio di quarto grado;▼
* il grado del polinomio <math>a^3+3b^2a-4ba^2</math> rispetto alla lettera <math>a</math> è <math>3</math> perché l’esponente più grande con cui tale lettera compare è <math>3</math>.▼
}}
 
▲* Il polinomio  <math>2ab+3-4a^2b^2</math> ha grado complessivo  <math>4</math> perché il monomio con grado massimo è  <math>-4a^2b^2 </math>, che è un monomio di quarto grado;
{{Algebra1/Definizione|
▲* il grado del polinomio  <math>a^3+3b^2a-4ba^2</math> rispetto alla lettera  <math>a</math> è  <math>3</math> perché l’esponente più grande con cui tale lettera compare è  <math>3</math>.
Un polinomio si dice ''omogeneo'' se tutti i termini che lo compongono sono dello stesso grado.▼
}}
 
{{Algebra1/Esempio|
Il polinomio <math>a^3-b^3+ab^2</math> è un polinomio omogeneo di grado <math>3</math>.▼
}}
 
▲{{Algebra1/Definizione| Un polinomio si dice ''omogeneo'' se tutti i termini che lo compongono sono dello stesso grado. }}
{{Algebra1/Definizione|
Un polinomio si dice ''ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) di una lettera'', quando i suoi termini sono ordinati in maniera tale che gli esponenti di tale lettera decrescono (crescono), leggendo il polinomio da sinistra verso destra.▼
}}
 
▲{{Algebra1/Esempio1| Il polinomio  <math>a^3-b^3+ab^2</math> è un polinomio omogeneo di grado  <math>3</math>. }}
{{Algebra1/Esempio|
Il polinomio <math>\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{4}x^2y-2xy^2+\frac{3}{8}y^3</math> è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera <math>x</math>, e secondo le potenze crescenti della lettera <math>y</math>.▼
}}
 
▲{{Algebra1/Definizione| Un polinomio si dice ''ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) di una lettera'', quando i suoi termini sono ordinati in maniera tale che gli esponenti di tale lettera decrescono (crescono), leggendo il polinomio da sinistra verso destra. }}
{{Algebra1/Definizione|
Un polinomio di grado <math>n</math> rispetto ad una data lettera si dice ''completo'' se contiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a <math>n</math>, compreso il termine noto.▼
}}
 
▲{{Algebra1/Esempio1| Il polinomio  <math>\fractfrac{1}{2}x^3+\fractfrac{3}{4}x^2y-2xy^2+\fractfrac{3}{8}y^3</math> è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera  <math>x</math>, e secondo le potenze crescenti della lettera  <math>y</math>. }}
{{Algebra1/Esempio|
Il polinomio <math>x^4-3x^3+5x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}</math> è completo di grado <math>4</math> e inoltre risulta ordinato rispetto alla lettera <math>x</math>. Il termine noto è <math>-\frac{3}{5}</math>.
}}
 
▲{{Algebra1/Definizione| Un polinomio di grado  <math>n</math> rispetto ad una data lettera si dice ''completo'' se contiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a  <math>n</math>, compreso il termine noto. }}
{{Algebra1/Osservazione|
Ogni polinomio può essere scritto sotto forma ordinata e completa: l’ordinamento si può effettuare in virtù della proprietà commutativa della somma, mentre la completezza si può ottenere mediante l’introduzione dei termini dei gradi mancanti con coefficiente uguale a <math>0</math>.▼
 
Per{{Algebra1/Esempio1| esempio, ilIl polinomio  <math>x^4-x3x^3+1+4x5x^2+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{3}{5}</math> puòè esserecompleto scrittodi sottogrado forma ordinata<math>4</math> e completainoltre risulta ordinato rispetto alla lettera come <math>x^4+0x^3+4x^2</math>. Il termine noto è <math>-x+1\tfrac{3}{5}</math>. }}
 
}}
▲{{Algebra1/Osservazione| Ogni polinomio può essere scritto sotto forma ordinata e completa: l’ordinamento si può effettuare in virtù della proprietà commutativa della somma, mentre la completezza si può ottenere mediante l’introduzione dei termini dei gradi mancanti con coefficiente uguale a  <math>0</math>.
 
Per esempio, il polinomio <math>x^4-x+1+4x^2</math> può essere scritto sotto forma ordinata e completa come <math>x^4+0x^3+4x^2-x+1</math>.
 
== Somma algebrica di polinomi ==
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