|
=== Massimo Comune Divisore ===
Il calcolo del minimo comune multiplo e del massimoMassimo comuneComune divisoreDivisore, studiato per i numeri, si estende anche ai monomi. Premettiamo intanto le seguenti definizioni.
{{Algebra1/Definizione| Un monomio <math>A</math> si dice ''multiplo'' di un monomio <math>B</math> se esiste un monomio <math>C</math> per il quale si ha <math>A=B\cdot C</math>; in questo caso diremo anche che <math>B</math> è ''divisore'' del monomio <math>A</math>. }}▼
{{Algebra1/Definizione|
{{Algebra1/Definizione| Il ''massimo comune divisore '' (<math>\text{MCD}</math>) tra due o piùmonomipiù monomi è il monomio che, tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, ha grado massimo. }}▼
▲Un monomio <math>A</math> si dice ''multiplo'' di un monomio <math>B</math> se esiste un monomio <math>C</math> per il quale <math>A=B\cdot C</math>; in questo caso diremo anche che <math>B</math> è ''divisore'' del monomio <math>A</math>.
}}
Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro <math>\text{MCD}</math>, se non sono interi è opportuno scegliere 1.
{{Algebra1/Definizione|
{{Algebra1/Esempio1| Dati i monomi <math>12a^{3}b^{2}</math> e <math>16a^{2}b</math> sono divisori comuni:
▲Il massimo comune divisore tra due o piùmonomi è il monomio che, tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, ha grado massimo.
{{Testo centrato|<math>1\text{, }2\text{, }4\text{, }a\text{, }a^{2}\text{, }b\text{, }ab\text{, }a^{2}b\text{, }2a\text{, }2a^{2}\text{, }2b\text{, }2ab\text{, }2a^{2}b\text{, }4a\text{, }4a^{2}\text{, }4b\text{, }4ab\text{, }4a^{2}b.</math>}}
}}
Il coefficientemonomio numericodi puògrado esseremassimo unè qualunque<math>a^{2}b</math>, numeroil reale:<math>\text{MCD}</math> setra i coefficienti sono tutti interi è opportuno4. sceglierePertanto il loro <math>mcd\text{MCD}</math>, sedei non sono interimonomi è opportuno scegliere 1<math>4a^{2}b</math>. }}
title={{Algebra1/Procedura| Calcolare il <math> mcd\text{MCD}</math> tra monomi |<br />▼{{Algebra1/Esempio|
Il <math> mcd\text{MCD}</math> di un gruppo di monomi è il monomio che ha: ▼Dati i monomi <math>12a^{3}b^{2}</math> e <math>16a^{2}b</math> sono divisori comuni: <math>1; 2; 4; a; a^{2}; b; ab; a^{2}b; 2a.</math> <math>2a^{2}; 2b; 2ab; 2a^{2}b; 4a; 4a^{2}; 4b; 4ab; 4a^{2}b.</math>
*# per coefficiente numerico il <math> mcd\text{MCD}</math> dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende 1; ▼Il monomio di grado massimo è <math>a^{2}b</math>, il <math>mcd</math> tra i coefficienti è 4. Pertanto il <math>mcd</math> dei monomi è <math>4a^{2}b</math>.
*# la parte letterale formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l’esponente minore con cui compare. ▼}}
{{Algebra1/Procedura|
▲title=Calcolare il <math>mcd</math> tra monomi|
▲Il <math>mcd</math> di un gruppo di monomi è il monomio che ha:
▲* per coefficiente numerico il <math>mcd</math> dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende 1;
▲* la parte letterale formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l’esponente minore con cui compare.
}}
title={{Algebra1/Esempio1| Calcolare il <math> mcd\text{MCD} (14a^{3}b^{4}c^{2} ;\text{, }4ab^{2} ;\text{, }8a^{2}b^{3}c)</math>. |<br />▼{{Algebra1/Esempio|
▲title=Calcolare <math>mcd (14a^{3}b^{4}c^{2};4ab^{2};8a^{2}b^{3}c)</math>.|
Per prima cosa calcoliamo il <math>mcd\text{MCD}</math> tra i coefficienti numerici 14, 4 e 8 che è 2. Per ottenere la parte letterale si mettono insieme tutte le lettere comuni, ciascuna con l’esponente minore con cui compare: <math>ab^{2}</math>.<br />
In definitiva, quindi, il <math>mcd\text{MCD} (14a^{3}b^{4}c^{2};\text{, }4ab^{2};\text{, }8a^{2}b^{3}c)=2ab^{2}</math>. }}
}}
title={{Algebra1/Esempio1| Calcolare il massimo comune divisore tra <math>5x^{3}y^{2}z^{3}</math> ;, <math>-\ fractfrac{1}{8}xy^{2}z^{2}</math> ; e <math>7x^{3}yz^{2}</math>. |<br />▼{{Algebra1/Esempio|
▲title=Calcolare il massimo comune divisore tra <math>5x^{3}y^{2}z^{3}</math>; <math>-\frac{1}{8}xy^{2}z^{2}</math>; <math>7x^{3}yz^{2}</math>.|
Si osservi che i coefficienti numerici dei monomi non sono numeri interi quindi si prende 1 come coefficiente del <math>mcd\text{MCD}</math>. Le lettere in comune sono <math>xyzx</math>, prese<math>y</math> e <math>z</math>. Prese ciascuna con l’esponente minore con cui compaiono si ha <math>xyz^{2}</math>.<br />
Quindi, il <math>mcd\text{MCD} (5x^{3}y^{2}z^{3};\text{, }-\fractfrac{1}{8}xy^{2}z^{2};\text{, }7x^{3}yz^{2})=xyz^{2}</math>. }}
}}
{{Algebra1/Osservazione| La scelta di porre uguale a 1 il coefficiente numerico del <math> mcd\text{MCD}</math>, nel caso in cui i monomi abbiano coefficienti razionali, è dovuta al fatto che una qualsiasi frazione divide tutte le altre e quindi una qualsiasi frazione potrebbe essere il coefficiente del <math> mcd\text{MCD}</math> . Ad essere più precisi, occorrerebbe, quando si parla di monomi e polinomi, chiarire a quale degli insiemi numerici <math>\mathbb{N}</math>, <math>\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Q}</math> e <math>\mathbb{R}</math> appartengono i loro coefficienti. Qui stiamo considerando coefficienti numerici in <math>\mathbb{R}</math>. }}▼
{{Algebra1/Osservazione|
{{Algebra1/Definizione| Due monomi si dicono ''monomi primi tra loro'' se il loro <math> mcd\text{MCD}</math> è 1. }}▼
▲La scelta di porre uguale a 1 il coefficiente numerico del <math>mcd</math>, nel caso in cui i monomi abbiano coefficienti razionali, è dovuta al fatto che una qualsiasi frazione divide tutte le altre e quindi una qualsiasi frazione potrebbe essere il coefficiente del <math>mcd</math> Ad essere più precisi, occorrerebbe, quando si parla di monomi e polinomi, chiarire a quale degli insiemi numerici <math>\mathbb{N}</math>, <math>\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Q}</math> e <math>\mathbb{R}</math> appartengono i loro coefficienti. Qui stiamo considerando coefficienti numerici in <math>\mathbb{R}</math>.
}}
{{Algebra1/Definizione|
▲Due monomi si dicono ''monomi primi tra loro'' se il loro <math>mcd</math> è 1.
}}
=== Minimo comune multiplo ===
| 