Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali: differenze tra le versioni
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== La leggenda di Pitagora e la scoperta di un numero inquietante ==
La vita e
Per i pitagorici esistono due soli tipi di numeri: gli interi e le frazioni. Ogni numero aveva sia una rappresentazione simbolica che un significato simbolico: il numero 5 veniva assunto a rappresentare il matrimonio, essendo la somma del primo numero dispari, il 3, con il primo numero pari, il 2.
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Fu dunque terribile la scoperta di un nuovo tipo di numero che non è né intero né frazionario, questo numero si ottiene calcolando per mezzo del teorema di Pitagora la misura della diagonale di un quadrato di lato uno. Questo nuovo numero, che oggi scriviamo <math>\sqrt{2}</math>, non poteva essere espresso in nessun modo come frazione, cioè rapporto di numeri interi. Ad esso i pitagorici diedero il nome di ''arreton'', cioè indicibile, inesprimibile. La scoperta fu mantenuta segreta. La leggenda narra che Ippaso, discepolo della Scuola, morì affogato perché violò il giuramento che aveva fatto di non diffondere questa terribile verità.
Oggi questi numeri li chiamiamo ''numeri irrazionali'', termine che riflette la stessa idea di inesprimibilità attribuita loro dai pitagorici <ref>Per approfondire
</ref>.
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Applicando il teorema di Pitagora a un quadrato di lato unitario per calcolare la misura della diagonale i pitagorici individuarono un nuovo tipo di numero, oggi indicato con <math>\sqrt{2}</math>.
Fissiamo sulla retta orientata <math>r</math>
[[File:Algebra1 04 fig001.svg]]
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Il triangolo <math>OAB</math> è retto in <math>A</math>, quindi per il teorema di Pitagora <math>\overline{OB}^{2}=\overline{OA}^{2}+\overline{AB}^{2}</math>. Sostituiamo le misure: <math>\overline{OB}^{2}=1^2+1^2=2</math>. Per ottenere <math>\overline{OB}</math> dobbiamo estrarre la radice quadrata e quindi <math>\overline{OB}=\sqrt{2}</math>.
Sappiamo che ‘estrarre la radice
Dalla posizione del punto <math>K</math> possiamo dire che <math>1<\sqrt{2}<2</math>. Il valore cercato evidentemente non è un numero intero. Può essere un numero decimale finito? Compiliamo una tabella che contenga nella prima riga i numeri con una sola cifra decimale compresi tra 1 e 2 e nella seconda riga i rispettivi quadrati:
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|}
Osserviamo che il numero 2 è compreso tra <math>1,4^{2}</math> e <math>1,5^{2}</math>, di conseguenza <math>1,4<\sqrt{2}<1,5</math>, ma ancora non possiamo precisare il suo valore, anche se abbiamo ristretto
Per migliorare
{| style="margin:auto; border-top: 1px solid #000; border-bottom: 1px solid #000; width: 30%; text-align: center;"
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|}
Ora possiamo dire che 1,41 è un valore approssimato per difetto di <math>\sqrt{2}</math> mentre 1,42 è un valore approssimato per eccesso, con un errore
Continuando con lo stesso procedimento costruiamo due classi di numeri razionali che approssimano una per difetto e una per eccesso il numero cercato, restringendo ogni volta
{| style="margin:auto; border-top: 1px solid #000; border-bottom: 1px solid #000; width: 50%; text-align: center;"
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!Numero
!Valore per eccesso
!Ordine
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|1
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Oltre a <math>\sqrt{2}</math> vi sono altri infiniti numeri che non possono essere scritti come frazione. Per esempio tutte le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti e tutte le radici quadrate di frazioni che non sono il quadrato di alcuna frazione.
Le radici quadrate dei numeri che non sono quadrati perfetti e che non sono il quadrato di alcuna frazione sono numeri decimali con infinite cifre decimali non periodiche; essi perciò possono essere scritti solo in maniera approssimata. Questi numeri sono detti ''numeri irrazionali'' e insieme ad altri, che conoscerete in seguito, costituiscono
== Operazioni con le radici quadrate ==
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{{Algebra1/Esempio|
title=Determina
Per calcolare
}}
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{{Algebra1/Esempio|
title=Determina
Calcoliamo
}}
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}}
Per calcolare la potenza di un radicale possiamo applicare la definizione di potenza e cioè moltiplicare il radicale per se stesso tante volte quanto indica
{{Algebra1/Osservazione|
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{{Algebra1/Esempio|
Calcola il perimetro del triangolo rettangolo avente i cateti che misurano rispettivamente <math>1{m}</math> e <math>7{m}</math>. Per calcolare il perimetro devo conoscere le misure dei tre lati del triangolo. Applico il teorema di Pitagora per ottenere la misura
Per calcolare il perimetro sommo le misure dei lati <math>2p=1{m}+7{m}+\sqrt{50}{m}=(8+\sqrt{50}){m}.</math>
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title=Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo avente i cateti che misurano rispettivamente <math>\sqrt{2}{m}</math> e <math>\sqrt{3}{m}</math>.|
Applichiamo il teorema di Pitagora per calcolare la misura
Un valore approssimato è <math>2p=\sqrt{2}{m}+\sqrt{3}{m}+\sqrt{5}{m}\approx1,4142{m}+1,7320{m}+2,2361{m}=5,3823{m}.</math>
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{{Algebra1/Esempio|
title=Calcola il perimetro di un rettangolo che ha la base di <math>5\sqrt{3}{m}</math> e
Il perimetro si ottiene sommando le due misure e moltiplicando il risultato per 2: <math>2p=2\cdot (b+h)=2\cdot (5\sqrt{3}+2\sqrt{3}){m}=2\cdot(5+2)\sqrt{3}{m}=2\cdot 7\sqrt{3}{m}=14\sqrt{3}{m}.</math>
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}}
Possiamo concludere questa breve rassegna sui numeri irrazionali osservando che la retta geometrica sembra avere
== Note ==
<references />
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