Differenze tra le versioni di "Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali"

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== La leggenda di Pitagora e la scoperta di un numero inquietante ==
 
La vita e l’operal'opera di Pitagora hanno costituito oggetto di approfondite ricerche da parte degli storici di tutti i tempi. Nonostante le indagini più accurate, i fatti della vita di Pitagora realmente accertati sono veramente pochi. Si dice sia nato a Samo nel 572 <ref>O nel 575  per altri autori.</ref> dove vi regnava il tiranno Policrate; non sopportando la tirannia, si trasferì in Egitto con un incarico di lavoro presso il faraone Amasi. Sembra che poi abbia viaggiato in Babilonia prima di approdare a Crotone dove fondò una Scuola che accolse numerosi discepoli. Pitagora propose un sistema matematico della natura: la spiegazione dei fenomeni naturali doveva avvenire attraverso la ricerca di relazioni tra numeri. Pensava che tutti i corpi fossero formati da punti materiali o monadi combinate in modo da formare le varie figure geometriche e il numero totale di tali unità rappresentava l'oggetto materiale. Da qui nasceva la dottrina secondo la quale tutte le cose che si conoscono hanno un numero; senza questo nulla sarebbe possibile pensare, né conoscere; la spiegazione dei fenomeni naturali può essere raggiunta solo attraverso l'aritmetica.
</ref> dove vi regnava il tiranno Policrate; non sopportando la tirannia, si trasferì in Egitto con un incarico di lavoro presso il faraone Amasi. Sembra che poi abbia viaggiato in Babilonia prima di approdare a Crotone dove fondò una Scuola che accolse numerosi discepoli. Pitagora propose un sistema matematico della natura: la spiegazione dei fenomeni naturali doveva avvenire attraverso la ricerca di relazioni tra numeri. Pensava che tutti i corpi fossero formati da punti materiali o monadi combinate in modo da formare le varie figure geometriche e il numero totale di tali unità rappresentava l’oggetto materiale. Da qui nasceva la dottrina secondo la quale tutte le cose che si conoscono hanno un numero; senza questo nulla sarebbe possibile pensare, né conoscere; la spiegazione dei fenomeni naturali può essere raggiunta solo attraverso l’aritmetica.
 
Per i pitagorici esistono due soli tipi di numeri: gli interi e le frazioni. Ogni numero aveva sia una rappresentazione simbolica che un significato simbolico: il numero 5 veniva assunto a rappresentare il matrimonio, essendo la somma del primo numero dispari, il 3, con il primo numero pari, il 2.
Fu dunque terribile la scoperta di un nuovo tipo di numero che non è né intero né frazionario, questo numero si ottiene calcolando per mezzo del teorema di Pitagora la misura della diagonale di un quadrato di lato uno. Questo nuovo numero, che oggi scriviamo <math>\sqrt{2}</math>, non poteva essere espresso in nessun modo come frazione, cioè rapporto di numeri interi. Ad esso i pitagorici diedero il nome di ''arreton'', cioè indicibile, inesprimibile. La scoperta fu mantenuta segreta. La leggenda narra che Ippaso, discepolo della Scuola, morì affogato perché violò il giuramento che aveva fatto di non diffondere questa terribile verità.
 
Oggi questi numeri li chiamiamo ''numeri irrazionali'', termine che riflette la stessa idea di inesprimibilità attribuita loro dai pitagorici <ref>Per approfondire l’argomentol'argomento: G. Masini, ''Storia della matematica'', SEI; John D. Barrow, ''La luna nel pozzo cosmico'', CDE; Ludovico Geymonat, ''Storia del pensiero filosofico e scientifico'', Garzanti, vol. 1; David Bergamini e redattori di Life, ''La matematica'', Mondadori; Morris Kline, ''Matematica la perdita della certezza'', A. Mondadori.
</ref>.
 
Applicando il teorema di Pitagora a un quadrato di lato unitario per calcolare la misura della diagonale i pitagorici individuarono un nuovo tipo di numero, oggi indicato con <math>\sqrt{2}</math>.
 
Fissiamo sulla retta orientata <math>r</math> l’unitàl'unità di misura e disegniamo il quadrato di lato 1. Ci proponiamo di calcolare la misura della sua diagonale <math>OB</math>.
 
[[File:Algebra1 04 fig001.svg]]
Il triangolo <math>OAB</math> è retto in <math>A</math>, quindi per il teorema di Pitagora <math>\overline{OB}^{2}=\overline{OA}^{2}+\overline{AB}^{2}</math>. Sostituiamo le misure: <math>\overline{OB}^{2}=1^2+1^2=2</math>. Per ottenere <math>\overline{OB}</math> dobbiamo estrarre la radice quadrata e quindi <math>\overline{OB}=\sqrt{2}</math>.
 
Sappiamo che ‘estrarre la radice quadrata’quadrata' di un numero significa trovare quel numero che elevato al quadrato dà 2. Questo numero deve esistere, nel senso che esiste un punto sulla retta <math>r</math> che lo rappresenta, per costruirlo graficamente si può tracciare l’arcol'arco di circonferenza di centro <math>O</math> e raggio <math>OB</math> e determinando su <math>r</math> il punto <math>K</math> estremo del segmento con <math>OK = OB</math>.
 
Dalla posizione del punto <math>K</math> possiamo dire che <math>1<\sqrt{2}<2</math>. Il valore cercato evidentemente non è un numero intero. Può essere un numero decimale finito? Compiliamo una tabella che contenga nella prima riga i numeri con una sola cifra decimale compresi tra 1 e 2 e nella seconda riga i rispettivi quadrati:
|}
 
Osserviamo che il numero 2 è compreso tra <math>1,4^{2}</math> e <math>1,5^{2}</math>, di conseguenza <math>1,4<\sqrt{2}<1,5</math>, ma ancora non possiamo precisare il suo valore, anche se abbiamo ristretto l’intervallol'intervallo in cui si trova il punto <math>K</math>. Diciamo che 1,4 è un valore approssimato per difetto di <math>\sqrt{2}</math> mentre 1,5 è un valore approssimato per eccesso; scrivendo <math>\sqrt{2}=1,4</math> oppure <math>\sqrt{2}=1,5</math> commettiamo un errore minore di 1/10.
 
Per migliorare l’approssimazionel'approssimazione e tentare di ottenere <math>\sqrt{2}</math> come numero razionale costruiamo la tabella dei numeri decimali con due cifre compresi tra 1,4 e 1,5:
 
{| style="margin:auto; border-top: 1px solid #000; border-bottom: 1px solid #000; width: 30%; text-align: center;"
|}
 
Ora possiamo dire che 1,41 è un valore approssimato per difetto di <math>\sqrt{2}</math> mentre 1,42 è un valore approssimato per eccesso, con un errore dell’ordinedell'ordine di 1/100. Abbiamo quindi migliorato l’approssimazionel'approssimazione e di conseguenza abbiamo ristretto l’intervallol'intervallo in cui cade il punto <math>K</math>. Ma ancora non abbiamo trovato un numero razionale che sia uguale a <math>\sqrt{2}</math>.
 
Continuando con lo stesso procedimento costruiamo due classi di numeri razionali che approssimano una per difetto e una per eccesso il numero cercato, restringendo ogni volta l’ampiezzal'ampiezza dell’intervallodell'intervallo in cui cade il punto <math>K</math>. Il procedimento continua all’infinitoall'infinito e le cifre decimali che troviamo non si ripetono periodicamente.
 
{| style="margin:auto; border-top: 1px solid #000; border-bottom: 1px solid #000; width: 50%; text-align: center;"
!Numero
!Valore per eccesso
!Ordine dell’erroredell'errore
|-
|1
Oltre a <math>\sqrt{2}</math> vi sono altri infiniti numeri che non possono essere scritti come frazione. Per esempio tutte le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti e tutte le radici quadrate di frazioni che non sono il quadrato di alcuna frazione.
 
Le radici quadrate dei numeri che non sono quadrati perfetti e che non sono il quadrato di alcuna frazione sono numeri decimali con infinite cifre decimali non periodiche; essi perciò possono essere scritti solo in maniera approssimata. Questi numeri sono detti ''numeri irrazionali'' e insieme ad altri, che conoscerete in seguito, costituiscono l’insiemel'insieme <math>\mathbb{J}</math> dei numeri irrazionali.
 
== Operazioni con le radici quadrate ==
 
{{Algebra1/Esempio|
title=Determina l’areal'area del triangolo rettangolo avente un cateto di <math>8{m}</math> e l’ipotenusal'ipotenusa di <math>12{m}</math>.|
 
Per calcolare l’areal'area del triangolo rettangolo applicola formula <math>A=\frac{1}{2}\cdot c_{1}\cdot c_{2}</math>, occorre allora calcolare l’altrol'altro cateto per mezzo del Teorema di Pitagora: <math>c_{2}=\sqrt{i^{2}-c_{1}^{2}}=\sqrt{12^{2}-8^{2}}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}{m}.</math> Si è ottenuto un numero irrazionale. L’areaL'area è <math>A=\frac{1}{2}\cdot c_{1}\cdot c_{2}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot\sqrt{80}{m^{2}}.</math>
}}
 
 
{{Algebra1/Esempio|
title=Determina l’areal'area del rettangolo avente base e altezza rispettivamente di <math>5\sqrt{7}{cm}</math> e <math>2\sqrt{3}{cm}</math>.|
 
Calcoliamo l’areal'area <math>A=b\cdot h=5\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}{m^2}</math>. Per ottenere il risultato moltiplichiamo tra di loro i numeri razionali fuori dalle radici e subito dopo riportiamo una radice avente per radicando il prodotto dei radicandi. <math>A=b\cdot h=5\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}{m^2}=10\sqrt{21}{m^2}.</math>
}}
 
}}
 
Per calcolare la potenza di un radicale possiamo applicare la definizione di potenza e cioè moltiplicare il radicale per se stesso tante volte quanto indica l’esponentel'esponente: <math>V=(\sqrt{5})^{3}{cm}^{3}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}{cm}^{3}=5\sqrt{5}{cm}^{3}.</math>
 
{{Algebra1/Osservazione|
{{Algebra1/Esempio|
 
Calcola il perimetro del triangolo rettangolo avente i cateti che misurano rispettivamente <math>1{m}</math> e <math>7{m}</math>. Per calcolare il perimetro devo conoscere le misure dei tre lati del triangolo. Applico il teorema di Pitagora per ottenere la misura dell’ipotenusadell'ipotenusa: <math>i=\sqrt{7^{2}+1^{2}}m=\sqrt{49+1}m=\sqrt{50}{m}.</math>
 
Per calcolare il perimetro sommo le misure dei lati <math>2p=1{m}+7{m}+\sqrt{50}{m}=(8+\sqrt{50}){m}.</math>
title=Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo avente i cateti che misurano rispettivamente <math>\sqrt{2}{m}</math> e <math>\sqrt{3}{m}</math>.|
 
Applichiamo il teorema di Pitagora per calcolare la misura dell’ipotenusadell'ipotenusa: <math>i=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}{m}=\sqrt{3+2}{m}=\sqrt{5}{m}.</math> Il valore esatto del perimetro è dato da: <math>2p=(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}){m}</math>.
 
Un valore approssimato è <math>2p=\sqrt{2}{m}+\sqrt{3}{m}+\sqrt{5}{m}\approx1,4142{m}+1,7320{m}+2,2361{m}=5,3823{m}.</math>
 
{{Algebra1/Esempio|
title=Calcola il perimetro di un rettangolo che ha la base di <math>5\sqrt{3}{m}</math> e l’altezzal'altezza di <math>2\sqrt{3}{m}</math>.|
 
Il perimetro si ottiene sommando le due misure e moltiplicando il risultato per 2: <math>2p=2\cdot (b+h)=2\cdot (5\sqrt{3}+2\sqrt{3}){m}=2\cdot(5+2)\sqrt{3}{m}=2\cdot 7\sqrt{3}{m}=14\sqrt{3}{m}.</math>
}}
 
Possiamo concludere questa breve rassegna sui numeri irrazionali osservando che la retta geometrica sembra avere ‘più"più punti’punti" di quanti siano i numeri razionali; gli infiniti punti lasciati scoperti dai razionali sono immagine di numeri irrazionali. L’insiemeL'insieme che si ottiene dall’unionedall'unione dell’insiemedell'insieme <math>\mathbb{Q}</math> con l’insiemel'insieme <math>\mathbb{J}</math> degli irrazionali è l’insiemel'insieme <math>\mathbb{R}</math> dei numeri reali. La retta geometrica orientata è l’immaginel'immagine di tale insieme: ogni suo punto è immagine o di un numero razionale o di un numero irrazionale.
 
== Note ==
<references />
 
{{Avanzamento|100%|24 dicembre 2013}}
[[Categoria:Algebra 1|Numeri/Introduzione ai Numeri Reali]]