Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Relazioni: differenze tra le versioni

 
== Relazioni di ordine ==
 
Nel linguaggio di ogni giorno avrai certamente spesso usato espressioni come “devo mettere in ordine i miei libri” oppure “qui non c’è ordine” e altre espressioni simili. Anche in matematica, fin dalla scuola elementare, hai imparato a ordinare gli elementi dell’insieme dei numeri naturali: dati due numeri naturali hai imparato infatti a stabilire quale dei due è il maggiore.
 
{{Algebra1/Definizione| Una relazione <math>\mathfrak{R}</math>, introdotta in un insieme <math>A</math>, si chiama ''relazione d’ordine'' se è antisimmetrica e transitiva. }}
 
Riguardando le varie relazioni introdotte sin qui, possiamo stabilire che esistono relazioni d’ordine di vario tipo, schematizzate nel seguente diagramma:
 
[[File:Algebra1 rel fig012 alb.svg|center|Relazioni d'ordine]]
 
Attraverso alcuni esempi, vogliamo chiarire le differenze tra i diversi tipi. A questo scopo introduciamo la seguente definizione.
 
{{Algebra1/Definizione| Data una relazione d’ordine <math>\mathfrak{R}</math> definita in un insieme <math>A</math>, due elementi distinti <math>x</math> e <math>y</math> sono ''confrontabili'' se rispetto a <math>\mathfrak{R}</math> si ha <math>x \,\mathfrak{R}\, y</math> oppure <math>y \,\mathfrak{R}\, x</math>. }}
 
{{Algebra1/Definizione| Una relazione d’ordine si dice ''parziale'' quando esistono almeno due elementi che non sono confrontabili. }}
 
{{Algebra1/Definizione| Una relazione d’ordine si dice ''totale'' quando due qualsiasi elementi possono essere messi in relazione, cioè sono confrontabili. }}
 
{{Algebra1/Definizione| Una relazione d’ordine è detta ''in senso largo'' quando essa gode della proprietà riflessiva. }}
 
{{Algebra1/Definizione| Una relazione d’ordine è detta ''in senso stretto'' quando essa gode della proprietà antiriflessiva. }}
 
[[File:Algebra1 rel fig013 alb.svg|center|Tipi di relazioni d'ordine]]
 
{{Algebra1/Esempio1| Nell’insieme degli alunni della tua classe considera la relazione <math>A \, \mathfrak{R} \, B</math> se il numero di lettere del nome di A è minore del numero di lettere del nome di B. Verifichiamo le proprietà della relazione:
# ''Antiriflessiva'': perché ogni alunno non può avere un nome con meno lettere del suo nome;
# ''Antisimmetrica'': se A ha il nome più corto del nome di B, non può accadere l’inverso e cioè che anche B abbia il nome più corto del nome di A;
# ''Transitiva'': perché se A ha il nome più corto di B e B ha il nome più corto di C allora anche <math>A \, \mathfrak{R} \, C</math>.
 
Si tratta quindi di una ''relazione d’ordine parziale in senso stretto''. É parziale perché ci possono essere due alunni che avendo il nome con lo stesso numero di lettere non sono confrontabili nella relazione considerata. }}
 
== Relazioni tra due insiemi diversi ==
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