Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Relazioni: differenze tra le versioni
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Nuova pagina: {{Algebra1}} == Proposizioni e predicati == In matematica frasi come “19 è maggiore di 5” o “Giove ruota intorno alla Terra” sono considerate ''proposizioni'' perché ad e... |
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== Relazioni in un insieme ==
Il termine ''relazione'' entra molto spesso in frasi del linguaggio naturale, lo usiamo per esprimere un generico legame tra due persone o tra due oggetti, anche senza specificarne la natura: “si è conclusa la relazione tra Anna e Paolo”, “l’allungamento di una sbarretta di ferro è in relazione con il calore fornito”, “la frana del terreno è in relazione con il disboscamento della zona e l’abusivismo edilizio”, “domani consegnerò la relazione di fisica”. Sono tutte espressioni che ci danno informazioni di un qualche collegamento tra gli argomenti (persone, cose) ai quali il termine relazione si riferisce.
Dal punto di vista matematico diamo la seguente definizione. {{Algebra1/Definizione| Si dice ''relazione'' in un insieme <math>A</math> un predicato binario che lega due elementi dell’insieme. }}
{{Algebra1/Esempio1| Nell’insieme <math>A = \{3\text{, }5\text{, }6\text{, }9\text{, }30\}</math> è introdotto il predicato binario “essere multiplo di”; con esso formiamo le proposizioni vere scegliendo soggetto e complemento nell’insieme <math>A</math>:
{{Div col}} 30 è multiplo di 6;
9 è multiplo di 3;
30 è multiplo di 5;
3 è multiplo di 3;
9 è multiplo di 9;
…
{{Div col end}}
Il predicato “essere multiplo” genera nell’insieme <math>A</math> una relazione matematica. Esso non è il solo che permette di collegare tra loro due elementi di quell’insieme. }}
Se chiamiamo con <math>\mathfrak{R}</math> il predicato binario che definisce la relazione introdotta nell’insieme, per indicare sinteticamente la proposizione avente come soggetto <math>a</math>, come complemento <math>b</math> e come predicato <math>\mathfrak{R}</math>, scriviamo <math>a \,\mathfrak{R}\, b</math> e diremo che ''<math>a</math> è in relazione con <math>b</math>''.
{{Algebra1/Esempio1|
Con riferimento all’esempio precedente si ha: <math>A = \{3\text{, }5\text{, }6\text{, }9\text{, }30\}</math> e <math>\mathfrak{R}</math>: “essere multiplo di”. Allora scriviamo: per qualunque <math>a</math> e <math>b</math> appartenenti ad <math>A</math>, <math>a \,\mathfrak{R}\, b</math> se e solo se <math>a</math> è multiplo di <math>b</math>, in simboli: <math>\forall a,b \in A \Leftrightarrow a \text{ è multiplo di } b</math>
{{Testo centrato|<math>30 \,\mathfrak{R}\, 6;\quad 9 \,\mathfrak{R}\, 3;\quad 30 \,\mathfrak{R}\, 3;\quad 6 \,\mathfrak{R}\, 3;\quad 30 \,\mathfrak{R}\, 5;\quad 3 \,\mathfrak{R}\, 3;\quad 5 \,\mathfrak{R}\, 5;\quad 6 \,\mathfrak{R}\, 6;\quad 9 \,\mathfrak{R}\, 9;\quad 30 \,\mathfrak{R}\, 30.</math>}}
Abbiamo così formato un insieme di coppie ordinate di elementi tra loro in relazione: <math>30 \,\mathfrak{R}\, 5</math> può anche essere indicata con la coppia ordinata <math>(30;5)</math>. }}
{{Algebra1/Definizione| Chiamiamo ''insieme della relazione'' <math>G_\mathfrak{R}</math> l’insieme delle coppie ordinate i cui elementi sono gli argomenti del predicato binario, ossia sono in relazione tra di loro. Esso risulta essere un sottoinsieme del prodotto cartesiano dell’insieme <math>A</math> con se stesso. Si rappresenta per proprietà caratteristica nel seguente modo <math>G_\mathfrak{R} = \{(a;b) \in A \times A \mid a \,\mathfrak{R}\, b \}</math>. }}
=== Grafico di una relazione ===
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