Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Logica di base: differenze tra le versioni
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=== La dimostrazione ===
Tenendo conto di quanto detto precedentemente, dimostrare che <math>I\Rightarrow T</math> significa fare un ragionamento che permetta di concludere che la tesi <math>T</math> è vera avendo supposto che l’ipotesi <math>I</math> sia vera.
Quando attraverso un ragionamento logico, e cioè attraverso una catena di implicazioni del tipo <math>I\Rightarrow A\Rightarrow B\Rightarrow \ldots{} \Rightarrow T</math>, si riesce a dedurre la verità di una proposizione <math>T</math> a partire dalla verità di una proposizione <math>I</math>, si dice che si è data una ''dimostrazione diretta'' del teorema <math>I\Rightarrow T</math> (attraverso le regole del modus ponens e del sillogismo ipotetico).
Un teorema può anche essere ''dimostrato per assurdo'', o con metodo ''indiretto''. Questa dimostrazione consiste nel partire dalla negazione di <math>T</math> e, attraverso una catena di implicazioni, arrivare alla negazione di <math>I</math> o, in generale, ad una contraddizione.
Esistono altri metodi di dimostrazione, di cui eventualmente si parlerà più diffusamente qualora si dovesse ricorrere ad essi. Per ora ci limitiamo a citarne un paio: ''dimostrazione per induzione'' e ''dimostrazione mediante esempio'' o ''controesempio''.
La ''dimostrazione per induzione'' si usa in particolare quando vogliamo dimostrare una proprietà generale che vale per molte categorie di figure ma che non si può esprimere in maniera unica per tutte le categorie (ad esempio una proprietà che vale per tutti i poligoni ma che dipende dal numero dei lati, come l’estensione dei criteri di congruenza dei triangoli a poligoni di più lati).
Si usa invece un ''esempio'' quando bisogna dimostrare che una certa proprietà vale per almeno un oggetto del nostro studio o un ''controesempio'' per dimostrare che una proprietà non vale per tutti gli oggetti in esame.
Per fornire alcuni esempi di dimostrazione, avremmo bisogno di fissare prima i concetti di base e gli assiomi da cui partire, per cui rinviamo la questione al prossimo paragrafo.
Ma a cosa serve studiare la dimostrazione di un teorema? Perché non ci limitiamo ad elencare i teoremi? Per molte applicazioni basta in effetti conoscere il teorema e a volte anche soltanto la formula risolutiva. Tuttavia studiando le dimostrazioni si impara a dimostrare e quindi si impara a creare nuova matematica. Un altro importante vantaggio è che la dimostrazione spiega perché il teorema è vero e permette di scoprire la struttura nascosta nelle definizioni e nei teoremi.
Quando si studia una dimostrazione non bisogna limitarsi a leggerla e a impararla a memoria, occorre leggerla attivamente, ponendo attenzione su cosa si fa e cercando di anticipare i passaggi. Se un passaggio non è chiaro bisogna prima tornare indietro per capire come ci si è arrivati e quindi cercare di capire il motivo per cui l’autore ha messo quel passaggio. In generale, una dimostrazione va letta più volte smettendo solo quando la si è compresa a fondo.
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