Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Logica di base: differenze tra le versioni
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== L’implicazione ==
Nel linguaggio matematico sono comuni proposizioni del tipo <<Se <math>p</math> allora <math>q</math>>>. Ad esempio <<Se un numero è multiplo di 12 allora è multiplo di 3>>. La frase precedente può essere espressa dicendo: <<Essere multiplo di 12 implica essere multiplo di 3>>.
In logica frasi del tipo <<Se <math>p</math> allora <math>q</math>>> vengono tradotte utilizzando l’operatore <math>\Rightarrow</math> detto ''implicazione''. La scrittura <<se <math>p</math> allora <math>q</math>>> si traduce con la scrittura <math>p\Rightarrow q</math>, che si legge “<math>p</math> implica <math>q</math>”.
La proposizione <math>p</math> è detta ''antecedente'', (o ''ipotesi'') e la proposizione <math>q</math> è detta ''conseguente'' (o ''tesi'').
Il significato logico della proposizione <math>p\Rightarrow q</math> è <<tutte le volte che la proposizione <math>p</math> è vera allora risulta vera anche la proposizione <math>q</math>>>. Ovvero non si dice niente sula caso in cui <math>p</math> sia falsa.
Per esempio, l’affermazione <<Se c’è il sole andiamo al mare>> è falsa solo quando c’è il sole e non andiamo al mare; l’affermazione, infatti, non dice nulla se il sole non c’è: quindi se non c’è il sole si è liberi di andare o non andare al mare. Anche l’affermazione <<Se studi sarai promosso>> dice solo che se studi sarai promosso, non dice nulla per il caso in cui tu non studi, in questo caso infatti potrai essere ugualmente promosso. La sua tavola di verità è la seguente:
{| style="margin:auto; border-top: 1px solid #000; border-bottom: 1px solid #000; width: 25%; text-align: center;"
!align="center"|<math>p</math>
!align="center"|<math>q</math>
!align="center"|<math>p\Rightarrow q</math>
|-
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Uno degli errori logici più comuni è quello di pensare che da <math>p\Rightarrow q</math>si possa dedurre <math>\neg p\Rightarrow \neg q</math>.
Ad esempio dall’affermazione <<Se piove prendo l’ombrello>> qualcuno può pensare che si possa dedurre <<Se non piove non prendo l’ombrello>>. Riflettendoci, si intuisce che le due frasi non sono affatto consequenziali. Basta pensare che chi pronuncia la prima frase sta affermando soltanto che tutte le volte che piove prende naturalmente l’ombrello, ma non esclude la possibilità di prenderlo anche quando non piove (in effetti è saggio farlo se il cielo è coperto da nuvoloni neri!).
Così la frase (a) <<Se <math>x</math> è multiplo di 12 allora è multiplo di 3>> non vuol dire (b) <<Se <math>x</math> non è multiplo di 12 allora non è multiplo di 3>>, infatti la (a) è vera, mentre la (b) è falsa (si pensi ad esempio al numero 6 che non è multiplo di 12 ma è comunque multiplo di 3).
Ciò che ragionevolmente si può dedurre da <math>p\Rightarrow q</math> è <math>\neg q\Rightarrow \neg p</math>.
Ad esempio da <<Se <math>x</math> è multiplo di 12 allora è multiplo di 3>> si può dedurre <<Se <math>x</math> non è multiplo di 3 allora non è multiplo di 12>>.
Data l’implicazione <math>p\Rightarrow q</math> la proposizione <math>p</math> viene detta ''condizione sufficiente'' per <math>q</math>, mentre la proposizione <math>q</math> viene detta ''condizione necessaria'' per <math>p</math>.
Per esempio, studiare è condizione necessaria per essere promossi ma non è sufficiente. Quest’ultima espressione fa appunto riferimento al fatto che da <math>p\Rightarrow q</math> si può dedurre <math>\neg q\Rightarrow \neg p</math>. Ossia <math>q</math> è necessaria per <math>p</math> in quanto se non è vera <math>q</math> non è vera neanche <math>p</math>. Calcoliamo la tavola di verità di <math>p\Rightarrow q</math> e di <math>\neg q\Rightarrow \neg p</math>.
{| style="margin:auto; border-top: 1px solid #000; border-bottom: 1px solid #000; width: 50%; text-align: center;"
!align="center"|<math>p</math>
!align="center"|<math>q</math>
!align="center"|<math>p\Rightarrow q</math>
!align="center"|<math>\neg q</math>
!align="center"|<math>\neg p</math>
!align="center"|<math>\neg q \Rightarrow \neg p</math>
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Come si vede, le due proposizioni hanno gli stessi valori di verità.
In generale, data un’implicazione <math>p\Rightarrow q</math> (''proposizione diretta''):
* l’implicazione <math>\neg p\Rightarrow \neg q</math> si dice ''contraria'' di <math>p\Rightarrow q</math>;
* l’implicazione <math>q\Rightarrow p</math> si dice ''inversa'' di <math>p\Rightarrow q</math>;
* l’implicazione <math>\neg q\Rightarrow \neg p</math> si dice ''contronominale'' (o ''controinversa'') di <math>p\Rightarrow q</math>.
'''Doppia implicazione''' 
La ''doppia implicazione'', o ''equivalenza logica'', di due proposizioni <math>p</math> e <math>q</math> dà luogo a una proposizione che in simboli si rappresenta <math>p\Leftrightarrow q</math> (leggasi “<math>p</math> se e solo se <math>q</math>”) che è vera se <math>p</math> e <math>q</math> sono entrambe vere o entrambe false. La tavola di verità è la seguente:
{| style="margin:auto; border-top: 1px solid #000; border-bottom: 1px solid #000; width: 60%; text-align: center;"
!align="center"|<math>p</math>
!align="center"|<math>q</math>
!align="center"|<math>p\Leftrightarrow q</math>
!align="center"|<math>p\Rightarrow q</math>
!align="center"|<math>q\Rightarrow p</math>
!align="center"|<math>(p \Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow p)</math>
|-
|align="center"|V
|align="center"|V
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L’operatore <math>\Leftrightarrow</math> è detto di doppia implicazione perché se vale <math>p\Leftrightarrow q</math> significa che valgono sia <math>p\Rightarrow q</math> che <math>q\Rightarrow p</math> (e viceversa). Nella tabella precedente, infatti, è stata messa in evidenza l’equivalenza logica tra la proposizione <math>p\Leftrightarrow q</math> e la proposizione <math>(p \Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow p)</math>.
L’equivalenza logica è un relazione di equivalenza, infatti verifica le seguenti proprietà:
* <math>p\Leftrightarrow p</math>riflessiva;
* se <math>p\Leftrightarrow q</math> allora vale anche <math>q\Leftrightarrow p</math>simmetrica;
* se <math>p\Leftrightarrow q</math> e <math>q\Leftrightarrow r</math> allora vale anche <math>p\Leftrightarrow r</math>transitiva.
In matematica si usa spesso l’espressione <<<math>p</math> è condizione necessaria e sufficiente per <math>q</math>>>. Per esempio <<Condizione necessaria e sufficiente affinché un numero sia divisibile per 3 è che la somma delle sue cifre sia divisibile per 3>>. Il significato della frase è che <<<math>p</math> è sufficiente per <math>q</math>>> e inoltre <<<math>p</math> è necessario per <math>q</math>>>. In altre parole significa dire che <math>p\Rightarrow q</math> e <math>q\Rightarrow p</math>. Nel caso dell’esempio, <<se un numero è divisibile per 3 allora la somma delle sue cifre è divisibile per 3>>, vale quindi anche l’implicazione inversa <<se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3 allora il numero stesso è divisibile per 3>>.
In maniera analoga a quanto avviene per le espressioni numeriche, le espressioni logiche possono contenere varie proposizioni legate tra loro dagli operatori appena descritti ed eventualmente le parentesi che indicano la precedenza di applicazione degli operatori stessi. In linea di principio gli operatori vengono applicati nell’ordine nel quale si trovano nell’espressione da sinistra verso destra, tenendo però a mente che tra essi vige la seguente regola di precedenza: l’operatore <math>\neg</math> ha la precedenza sugli altri, seguito dall’operatore <math>\wedge</math> ed infine da <math>\vee</math>. Da ciò ne deriva un sistema di calcolo simbolico noto anche come algebra di Boole<ref>matematico e logico britannico (1815 - 1864).
</ref>.
=== I teoremi ===
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