Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Logica di base: differenze tra le versioni
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== Predicati e quantificatori ==
Una proposizione che fa riferimento a una proprietà o caratteristica di alcuni elementi di un insieme si chiama ''predicato'' (o ''enunciato''). Le frasi formate da un predicato che ha alcuni argomenti incogniti si dicono ''enunciati aperti''.
Per esempio, <math>p =\;</math><<<math>x</math> è un numero intero maggiore di 10>> è un enunciato aperto.
Consideriamo ora le seguenti affermazioni:
* <<Tutti gli uomini sono mortali>> si riferisce a un qualsiasi essere umano;
* <<Tutti i multipli di 6 sono anche multipli di 2>> è vera per tutti i numeri multipli di 6;
* <<Ogni numero negativo è minore di ogni numero positivo>>.
I predicati precedenti non riguardano un elemento specifico ma una certa quantità di elementi. I termini “tutti” e “ogni”, detti ''quantificatori universali'', indicano che una proprietà è vera per tutti gli elementi di un certo insieme. In logica matematica si usa il simbolo <math>\forall</math> (che si legge “per ogni”) per indicare il quantificatore universale.
Vediamo ora i seguenti predicati:
* <<Esiste un numero che elevato al quadrato dà 16>>;
* <<Alcuni numeri pari sono anche multipli di 3>>.
Queste affermazioni esprimono proprietà che sono vere per almeno un elemento dell’insieme di riferimento: la prima frase è vera per i numeri <math>+4</math> e <math>-4</math>, la seconda frase è vera per i numeri 6, 12, 18, …
I termini “c’è almeno”, “alcuni”, “esiste almeno uno” si dicono ''quantificatori esistenziali'' e si indicano con il simbolo <math>\exists</math> (che si legge “esiste”).
Bisogna prestare particolare attenzione quando si negano frasi in cui compaiono i quantificatori.
Per esempio, la negazione di <<Tutti i gatti fanno le fusa>> non è <<Nessun gatto fa le fusa>> bensì <<Non tutti i gatti fanno le fusa>> che si può esprimere anche con il quantificatore esistenziale <<C’è almeno un gatto che non fa le fusa>>.
La negazione della frase <<L’anno scorso siamo stati tutti promossi>> non è <<L’anno scorso siamo stati tutti bocciati>> ma <<L’anno scorso c’è stato almeno uno di noi che non è stato promosso>>.
La negazione della proposizione <math>p =\;</math><<Tutti i quadrati hanno due diagonali>> è la proposizione <math>\neg p =\;</math><<Non tutti i quadrati hanno due diagonali>>. Il linguaggio comune ci potrebbe portare a considerare come negazione di <math>p</math> la proposizione <<Nessun quadrato ha due diagonali>>, ma in realtà per avere la negazione della proposizione <math>p</math> basta che esista almeno un quadrato che non abbia due diagonali.
== L’implicazione ==
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