Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Insiemi: differenze tra le versioni

 
== Insieme intersezione ==
Consideriamo gli insiemi <math>A</math> e <math>B</math> formati rispettivamente dalle lettere dell’alfabeto italiano e dalle consonanti dell’alfabeto italiano cioè: <math>A=\{</math>a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, z<math>\}</math> e <math>B=\{</math>b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z<math>\}</math>, le lettere “a, e, i, o, u” che compaiono nell’insieme <math>A</math> ma non in <math>B</math> formano un nuovo insieme chiamato insieme ''differenza'' tra <math>A</math> e <math>B</math>.
 
{{Algebra1/Definizione| Dati due insiemi <math>A</math> e <math>B</math>, si dice ''insieme intersezione'' di <math>A</math> e <math>B</math>, l’insieme <math>C</math> composto da tutti gli elementi appartenenti contemporaneamente ad <math>A</math> e a <math>B</math>, ossia comuni a entrambi. In simboli: <math>C=A\cap B</math>, che si legge “<math>A</math> intersecato a <math>B</math>” o “<math>A</math> intersezione <math>B</math>”. }}
 
[[File:Algebra1 ins fig011 inter.svg|center|Diagramma di Eulero-Venn intersezione di insiemi]]
 
Mediante proprietà caratteristica si scrive: <math>C=A\cap B=\{x\mid (x\in A)\text{ e }(x\in B)\}</math>.
 
{{Algebra1/Esempio1| Se <math>A</math> è l’insieme delle lettere della parola “matematica” e <math>B</math> è l’insieme delle lettere della parola “materia”. Quali elementi di <math>A</math> stanno in <math>B</math>? Quali elementi di <math>B</math> stanno in <math>A</math>? Quali sono gli elementi che stanno in entrambi gli insiemi?
 
* L’insieme degli elementi di <math>A</math> che stanno in <math>B</math> è <math>\{</math>m, a, t, e, i<math>\}</math>;
* l’insieme degli elementi di <math>B</math> che stanno in <math>A</math> è <math>\{</math>m, a, t, e, i<math>\}</math>;
* l’insieme degli elementi che stanno sia in <math>A</math> sia in <math>B</math> è <math>\{</math>m, a, t, e, i<math>\}</math>.
}}
 
{{Algebra1/Definizione| Dati due insiemi <math>A</math> e <math>B</math>, essi si dicono ''disgiunti'' se non hanno elementi in comune, ossia se la loro intersezione è vuota. In simboli <math>A \cap B = \emptyset</math>. }}
 
{{Algebra1/Esempio1| Siano <math>D=\{\text{1, 3, 5}\}</math> e <math>P=\{\text{2, 4, 6}\}</math> allora <math>N=P\cap D=\emptyset</math>. Gli insiemi <math>P</math> e <math>D</math> sono disgiunti.
[[File:Algebra1 ins fig012 interi.svg|center|Diagramma di Eulero-Venn intersezione di insiemi]]
}}
 
== Proprietà dell’intersezione tra insiemi ==
 
# <math>A\cap B=B\cap A</math>: proprietà ''commutativa'' dell’intersezione;
# <math>(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)</math>: proprietà ''associativa'' dell’intersezione;
# Se <math>B\subset A</math>, allora <math>A\cap B=B</math>;
# <math>A\cap \emptyset =\emptyset</math>;
# <math>A\cap A=A</math>: proprietà di ''idempotenza'' dell’intersezione;
# <math>\emptyset \cap \emptyset =\emptyset</math>.
 
{{Algebra1/Esempio1| Siano <math>X=\{\text{do, re, mi. fa, sol, la, si}\}</math> e <math>Y=\{\text{do, re, mi}\}</math>. Allora, poiché <math>Y\subset X</math>, si ha: <math>W=X\cap Y=Y=\{\text{do, re, mi}\}</math>. }}
 
=== Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione e viceversa ===
 
# <math>A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)</math>: proprietà ''distributiva dell’intersezione rispetto all’unione'';
# <math>A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)</math>: proprietà ''distributiva dell’unione rispetto all’intersezione''.
 
Dimostriamo con i diagrammi di Venn la proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione.
 
[[File:Algebra1 ins fig012a disti.svg|center|Diagramma di Venn sulla proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione e viceversa]]
 
== Insieme differenza ==
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