Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Insiemi: differenze tra le versioni

 
== Insieme delle parti ==
Consideriamo l’insieme <math>A</math> dei numeri naturali compresi tra 0 e 100. A partire da questo insieme possiamo formare gruppi costituiti dai soli numeri multipli di 10, dai numeri pari, da quelli dispari, da quelli divisibili per 7 e così via. Quindi con gli elementi dell’insieme <math>A</math> possiamo formare molti altri insiemi che sono sottoinsiemi di <math>A</math>.
 
{{Algebra1/Esempio1| Determinare tutti i sottoinsiemi di <math>A=\{</math>1, 2, 3<math>\}</math>.F
 
<math>\emptyset \subseteq A</math>, infatti l’insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di qualunque insieme.
 
Elenchiamo tutti i sottoinsiemi costituiti da un solo elemento: <math>\{1\}</math>, <math>\{2\}</math>, <math>\{3\}</math>. Elenchiamo ora tutti i sottoinsiemi costituiti da due elementi: <math>\{</math>1, 2<math>\}</math>, <math>\{</math>1, 3<math>\}</math>, <math>\{</math>2, 3<math>\}</math>. L’unico sottoinsieme costituito da tre elementi è <math>A</math> stesso, possiamo scrivere: <math>\{</math>1, 2, 3<math>\}\subseteq A</math>. In tutto si hanno 8 sottoinsiemi. }}
 
{{Algebra1/Definizione| Dato un insieme <math>A</math>, si chiama ''insieme delle parti'' o (''insieme potenza'') di <math>A</math> l’insieme <math>\wp(A)</math> che ha come elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di <math>A</math>. }}
 
L’insieme delle parti di un insieme <math>A</math> ha sempre come elementi <math>\emptyset </math> e <math>A</math>, quindi <math>\emptyset\in\wp (A)</math> e <math>A\in\wp (A)</math>. Il numero degli elementi di <math>\wp (A)</math>, cioè dei suoi possibili sottoinsiemi, propri e impropri, dipende dal numero degli elementi di <math>A</math>.
 
{{Algebra1/Esempio1| L’insieme vuoto ha come unico sottoinsieme se stesso, quindi <math>\wp (\emptyset )=\{\emptyset \}</math>. }}
 
{{Algebra1/Esempio1| Dato l’insieme <math>A=\{a\}</math>, i suoi possibili sottoinsiemi propri ed impropri sono: <math>S_{1}=\emptyset</math>, <math>S_{2}=\{a\}</math>; allora <math>\wp (A)=\{S_{1}\text{, }S_{2}\}</math>. }}
 
{{Algebra1/Esempio1| Dato l’insieme <math>B=\{\text{matita, penna}\}</math> i suoi possibili sottoinsiemi propri ed impropri sono: <math>S_{1}=\emptyset</math>, <math>S_{2}=B=\{\text{matita, penna}\}</math>, <math>S_{3}=\{\text{matita}\}</math>, <math>S_{4}=\{\text{penna}\}</math>; allora <math>\wp (A)=\{S_{1}\text{, }S_{2}\text{, }S_{3}\text{, }S_{4}\}</math>. }}
 
{{Algebra1/Esempio1| Dato l’insieme <math>B=\{\text{1, 2, 3}\}</math>, i suoi possibili sottoinsiemi propri ed impropri sono: <math>S_{1}=\emptyset</math>, <math>S_{2}=B=\{\text{1, 2, 3}\}</math>, <math>S_{3}=\{1\}</math>, <math>S_{4}=\{2\}</math>, <math>S_{5}=\{3\}</math>, <math>S_{6}=\{1\text{, }2\}</math>, <math>S_{7}=\{1\text{, }3\}</math>, <math>S_{8}=\{2\text{, }3\}</math>; allora <math>\wp (A)=\{S_{1}\text{, }S_{2}\text{, }S_{3}\text{, }S_{4}\text{, }S_{5}\text{, }S_{6}\text{, }S_{7}\text{, }S_{8}\}</math>. }}
 
Riassumendo:
 
* se <math>A=\emptyset </math> l’insieme delle parti ha 1 solo elemento;
* se <math>A</math> ha 1 elemento allora l’insieme delle parti ha 2 elementi;
* se <math>A</math> ha 2 elementi, l’insieme delle parti ne ha 4;
* se <math>A</math> ha 3 elementi, l’insieme delle parti ne ha 8.
 
Generalizzando, se <math>A</math> ha <math>n</math> elementi, l’insieme delle parti <math>\wp (A)</math> ne ha <math>2^{n}</math>.
 
== Insieme unione ==
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