Wikibooks

Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

Naviga nella cronologia in modo interattivo
← Differenza precedenteDifferenza successiva →
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
VisualeWikitesto
Nessun oggetto della modifica
Nessun oggetto della modifica
Riga 1:
{{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. -->
{{capitolo
===18. Un disco su un piano inclinato===
|Libro=Fisica classica
|NomeLibro=Fisica classica
|CapitoloPrecedente=Dinamica del corpo rigido
|NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido
|CapitoloSuccessivo=Gravitazione
|NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Gravitazione
}}
I fenomeni di urto sono una categoria speciale di interazione tra due o più corpi. Questi fenomeni comprendono diversi casi, ma come regola generale sono caratterizzati da una forza o un momento della forza che si esercita tra i corpi in un tempo molto breve rispetto ai tempi caratteristici in cui cambia lo stato dinamico del sistema complessivo.
 
=Urti tra punti materiali=
Un disco di raggio <math>R=10\ cm</math>, massa <math>M=10\ kg\ </math> su un piano inclinato con angolo <math>\theta\ </math> rispetto alla direzione orizzontale a causa di una coppia <math>\tau\ </math> applicata sul disco, sale (<math>\theta<0\ </math>) lungo un piano inclinato o scende <math>\theta>0\ </math> . Determinare per <math>\tau=5\ Nm\ </math> in salita e per <math>\tau=2\ Nm\ </math> in discesa forza di attrito, accelerazione, accelerazione angolare. L'attrito statico tra piano inclinato e disco è di
In questo caso è possibile trascurare ogni forza esterna al sistema, in quanto durante l'urto la forza è così intensa che ogni forza esterna al sistema è trascurabile, ma non è necessario che le forze impulsive dell'urto siano forze di contatto.
<math>\mu_s=0.5\ </math>, l'attrito dinamico è <math>\mu_d=0.48\ </math>.
 
Consideriamo due punti materiali 1 e 2 con velocità iniziale (prima dell'urto)
<span class="noprint">[[#18. Un disco su un piano inclinato_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
<math>\vec v_{10}</math> e <math>\vec v_{20}</math> e con velocità finale (dopo l'urto)
<math>\vec v_{1f}</math> e <math>\vec v_{2f}</math>. L'assenza di forze esterne durante l'urto implica la conservazione della quantità di moto:
:<math>m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}=m_1\vec v_{1f}+m_2\vec v_{2f}\ </math>
Al contrario della conservazione della quantità di moto in genere non vale la conservazione dell'energia in quanto le forze impulsive che agiscono durante l'urto possono essere non conservative. Questo implica che l'energia cinetica totale del sistema possa variare. Infatti seppure l'energia totale del sistema sia data dalla somma della energia cinetica e dell'energia potenziale (dovuta alle forze esterne) durante la breve durata dell'urto potendosi trascurare le forze esterne anche la variazione della loro energia potenziale è trascurabile. Quindi solo l'energia cinetica non si conserva. In ogni caso ricordando il secondo [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi_di_König|teorema di König]]
solo l'energia cinetica rispetto al centro di massa può essere dissipata in quanto la dissipazione è provocata da forze interne. Le forze dissipative vengono chiamate anelastiche per distinguerle dalle forze tipicamente conservative elastiche.
 
== Urto completamente anelastico ==
===19. Automobile===
[[File:inelastischer_stoß.gif|400px]]
Una automobile di massa <math>M\ </math> è messa in moto in moto da un motore che esercita un momento
<math>|\tau |\ </math> su ciascuna delle due ruote motrici.
Le ruote hanno un raggio <math>R\ </math> ed un momento di inerzia <math>I_r\ </math>. Determinare la forza di attrito
che agisce sulle due ruote motrici (la strada è piana) in fase di accelerazione della automobile. Immaginare che la forza peso si scarichi in maniera eguale sulle ruote. Il coefficiente di attrito statico tra ruote e strada vale <math>\mu_s=0.9\ </math>.
la condizione sull'attrito statico tra le ruote e il suolo. A causa della forza di attrito viscoso <math>F_v=-bv^2\ </math> la macchina raggiunge
una velocità di regime <math>v_0\ </math> , determinare la coppia sulle ruote motrici e la potenza del motore.
 
In un urto di questo genere l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene dissipata nella deformazione permanente dei due corpi.
(Dati del problema <math>\tau =250\ Nm\ </math>, <math>M=1000\ kg\ </math>, <math>R=0.3\ m\ </math>, <math>I_r=0.4\ kgm^2\ </math>, <math>v_0=170\ km/h\ </math>, <math>b=0.5\ kg/m\ </math> )
Nell'urto '''completamente anelastico''' i due corpi proseguono insieme nel loro moto con la velocità che aveva inizialmente il centro di massa <math>\vec v_{CM}\ </math>:
:<math>m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}=(m_1+m_2)\vec v_{CM}\ </math>
Quindi:
:<math>\vec v_{CM}=\frac {m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}\ </math>
L'energia cinetica prima dell'urto vale:
:<math>E_{k0}=\frac 12 m_1v_{10}^2+\frac 12 m_2v_{20}^2\ </math>
mentre
:<math>E_{kf}=\frac 12 (m_1+m_2)v_{CM}^2\ </math>
Sempre minore di quella iniziale.
 
Nel caso particolare mostrato nella animazione in alto che le masse sono equali e che il corpo 2 è inizialmente fermo, dalla conservazione della quantità di moto segue che la velocità del centro di massa (che non cambia nell'urto) è la metà della velocità della massa e che l'energia cinetica totale del sistema si dimezza. In generale nell'urto totalmente anelastico tra un oggetto in moto (<math>m_1</math>, <math>\vec v</math>) ed uno (<math>m_2</math>) inizialmente fermo:
<span class="noprint">[[#19. Automobile_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
:<math>\vec v_{CM}=\frac {m_1}{m_1+m_2}\vec v\ </math>
:<math>E_{k0}=\frac 12 m_1v^2\ </math>
:<math>E_{kf}=\frac 12 \frac {m_1^2}{m_1+m_2}v^2\ </math>
:<math>\frac {E_{kf}}{E_{k0}}=\frac {m_1}{m_1+m_2}\ </math>
Quindi più grande è la massa <math>m_2\ </math> rispetto alla massa <math>m_1\ </math> maggiore sarà l'energia dissipata. Nel [[w:Pendolo_balistico|pendolo balistico]] il proiettile si conficca in un oggetto di grande massa perdendo quasi totalmente la sua energia cinetica e quindi permette una facile misura della velocità iniziale dei proiettili.
== Sistema di riferimento del centro di massa==
Tranne il caso dell'urto completamente anelastico, negli altri casi è opportuno considerare cosa succede nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Sistema di riferimento del centro di massa|sistema di riferimento del centro di massa]]. Cioè un sistema di rifermento che ha origine nel centro di massa, non ruotante. Il sistema di riferimento di partenza viene chiamato sistema di laboratorio, che non necessariamente è un sistema di riferimento inerziale, in quanto anche le forze apparenti eventualmente presenti, durante l'urto sono trascurabili rispetto alle forze impulsive. Poichè per definizione la velocità del centro di massa è pari a:
:<math>\vec v_{CM}=\frac {m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}\ </math>
Quindi la velocità dei due punti materiali rispetto alla velocità del centro di massa è:
:<math>\vec v_{10}^'=\vec v_{10}-\vec v_{CM}\ </math>
:<math>\vec v_{20}^'=\vec v_{20}-\vec v_{CM}\ </math>
Se moltiplichiamo la prima per <math>m_1\ </math> e la seconda per <math>m_2\ </math> otteniamo le quantità di moto dei due punti materiali nel sistema del centro di massa:
:<math>m_1\vec v_{10}^'=m_1\left(\vec v_{10}-\frac {m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}\right)=\frac {m_1m_2}{m_1+m_2}(\vec v_{10}-\vec v_{20})\ </math>
:<math>m_2\vec v_{20}^'=m_2\left(\vec v_{20}-\frac {m_1\vec v_{10}+m_2\vec v_{20}}{m_1+m_2}\right)=\frac {m_1m_2}{m_1+m_2}(\vec v_{20}-\vec v_{10})\ </math>
Quindi nel sistema del centro di massa le due quantità di moto sono eguali ed opposte. La cosa è vera sia prima che dopo l'urto e indipendentemente dal fatto che l'energia cinetica si conservi o meno.
Quindi un osservatore posto sul centro di massa osserva che i due punti materiali si scontrano con la stessa quantità di moto apparente. Notiamo che in ogni caso la velocità del centro di massa non cambia nell'urto.
 
L'energia cinetica iniziale rispetto al centro di massa, l'unica che può cambiare nell'urto, si può esprimere quindi in funzione della velocità iniziale di una sola massa in quanto:
== Soluzioni ==
:<math>\vec v_{20}^'=-\vec v_{10}^'\frac {m_1}{m_2}\ </math>
:<math>E_{k0}^{\ '}=\frac 12m_1v_{10}^{'2}+\frac 12m_2v_{20}^{'2}=
\frac 12m_1v_{10}^{'2}(1+m_1/m_2)\ </math>
Analogamente quella finale:
:<math>E_{kf}^{\ '}=
\frac 12m_1v_{1f}^{'2}(1+m_1/m_2)\ </math>
 
== Urto elastico ==
===18. Un disco su un piano inclinato ===
[[File:Elastischer_stoß3.gif|400px]]
<span class="noprint">[[#18. Un disco su un piano inclinato|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Un urto si dice '''elastico''' quando l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene conservata nell'urto cioè:
Il momento di inerzia vale <math>I=\frac 12MR^2=0.005\ kgm^2\ </math>.
:<math>E_{kf}^{\ '}=E_{k0}^{\ '}\ </math>
e quindi:
:<math>v_{1f}^{'2}=v_{10}^{'2}\ </math>
ma anche:
:<math>v_{2f}^{'2}=v_{20}^{'2}\ </math>
 
Nel caso tridimensionale o bidimensionale queste equazioni non bastano a determinare le velocità finali delle particelle che urtano, e bisogna specificare in qualche maniera altre informazioni sulla velocità dopo l'urto per determinare lo stato finale del sistema.
Chiamiamo con <math>f_s\ </math> la forza di attrito, le equazioni cardinali sono:
Infatti nel caso tridimensionale le velocità finali sono in totale sei incognite e le equazioni che abbiamo sono solo quattro (conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia). Lo stesso anche nel caso bidimensionale in cui le velocità finali sono in totale quattro incognite e le equazioni che abbiamo sono solo tre (conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia). Solo nel caso unidimensionale il problema è risolvibile senza condizioni aggiuntive, tranne il fatto ovvio che, nel sistema del centro di massa le velocità
:<math>Ma=f_s+Mg\sin \theta\ </math>
debbono invertirsi nell'urto:
:<math>I\alpha=\tau-f_sR\ </math>
:<math>v_{1f}^'=-v_{10}^'\ </math>
Se la forza di attrito è minore in valore assoluto del valore critico che vale:
:<math>f_v_{max2f}^'=\mu_s Mg\cos \theta-v_{20}'\ </math>
Queste equazioni si traducono nel sistema di laboratorio in:
se il moto è di puro rotolamento le due equazioni cardinali sono collegate tra di loro, sostituendo nella seconda equazione <math>\alpha=a/R\ </math> diviene:
:<math>\begin{align}v_{1f}&=v_{1f}^'+v_{CM}=-v_{10}^'+v_{CM}=-(v_{10}-v_{CM})+v_{CM}=-v_{10}+2v_{CM}=\\
:<math>I\frac aR=\tau-f_sR\ </math>
&=-v_{10}+2\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_1-m_2)v_{10}+2m_2v_{20}}{m_1+m_2}
Quindi si ha che:
\end{align}\ </math>
:<math>f_s=\frac {\tau MR/I-Mg\sin \theta}{1+MR^2/I}\ </math>
:<math>\begin{align}v_{2f}&=v_{2f}^'+v_{CM}=-v_{20}^'+v_{CM}=-(v_{20}-v_{CM})+v_{CM}=-v_{20}+2v_{CM}=\\
:<math>a=\frac {\tau R/I-g\sin \theta}{1+MR^2/I}+g\sin \theta\ </math>
&=-v_{20}+2\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_2-m_1)v_{20}+2m_1v_{10}}{m_1+m_2}
:<math>\alpha=\frac {\tau R^2/I-gR\sin \theta}{1+MR^2/I}+gR\sin \theta\ </math>
\end{align}\ </math>
Mentre se non è verificata la condizione, le due equazioni restano indipendenti, la forza di attrito ha il valore
di:
:<math>|f_d|=Mg\cos \theta\ </math>
 
== Urto anelastico ==
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
[[Image:Bouncing ball strobe edit.jpg|thumb|right|350px|Una palla che rimbalza al suolo, l'immagine ottenuta con [[w:Luce_stroboscopica|luce stroboscopica]] a 25 immagini al secondo. Ogni urto è anelastico e quindi l'energia viene parzialmente dissipata ad ogni urto con il suolo. Trascurando l'attrito dell'aria, la radice quadrata della altezza massima tra due urti successivi è il coefficiente di restituzione.]]
!<math>\theta\ ^o </math> !! <math>\tau\ (Nm)\ </math> !! <math>f_{max}\ (N\ )\ </math> !! <math>f_s\ (N\ )\ </math>!! <math>f_d\ (N\ )\ </math> !! <math>a\ (m/s^2\ )\ </math> !! <math>\alpha\ (rad/s^2\ )\ </math> !! <math>Mg\sin \theta\ (N)\ </math>
Questo è il caso più comune in cui l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene conservata solo in parte cioè:
|-
:<math>E_{kf}^{\ '}=e^2 E_{k0}^{\ '}\ </math>
|style="text-align:center"|0|| 1 ||49||6.7||47||0.67||6.7||0
Dove la costante adimensionale <math>e\,\!</math> viene detta coefficiente di resitituzione
|-
ed è compresa tra 0 ed 1. Cioè vale 1 per urto elastico e 0 per urto completamente anelastico.
|style="text-align:center"|0|| 5 ||49||33||47||3.3||33||0
In realtà il coefficiente di restituzione è pari al rapporto nel sistema di riferimento del centro di massa (cambiato di segno):
|-
:<math>e=-\frac {p_{1f}^'}{p_{10}^'}=-\frac {p_{2f}^'}{p_{20}^'}\ </math>
|style="text-align:center"|0|| 10 ||49||66||47||4.9||105||0
Di conseguenza si ha che nel caso unidimensionale:
|-
:<math>v_{1f}^'=-ev_{10}^'\ </math>
|style="text-align:center"|-10||5||48||39||46||2.2||22||-17
:<math>v_{2f}^'=-ev_{20}'\ </math>
|-
Nel sistema di laboratorio:
|style="text-align:center"|-20||5||46||44.5||44||0.88||8.8||-33
:<math>\begin{align}v_{1f}&=v_{1f}^'+v_{CM}=-ev_{10}^'+v_{CM}=-e(v_{10}-v_{CM})+v_{CM}=-ev_{10}+(1+e)v_{CM}=\\
|-
&=-ev_{10}+(1+e)\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_1-em_2)v_{10}+(1+e)m_2v_{20}}{m_1+m_2}
|style="text-align:center"|-25||5||44||47||43||0.12||14||-41
\end{align}\ </math>
|-
:<math>v_{2f}=\frac {(m_2-em_1)v_{20}+(1+e)m_1v_{10}}{m_1+m_2}
|style="text-align:center"|-30||5||42||50||41||-0.8||18.5||-49
\ </math>
|-
Notare come le due espressioni precedenti che valgono nel caso unidimensionale. Nel caso di e=0 cioè urto completamente anestatisco diventano:
|style="text-align:center"|0||2||49||13.3||47||1.3||13||0
:<math>v_{1f}=v_{2f}=\frac {m_2v_{20}+m_1v_{10}}{m_1+m_2}=v_{CM}\ </math>
|-
Mentre nel caso di e=1 si riducono alle formule viste nel caso dell'urto elastico.
|style="text-align:center"|20||2||46||2.11||44||3.6||36||41
|-
|style="text-align:center"|30||2||42||-3||41||4.6||46||49
|-
|}
 
=Urto tra punti materiali e corpi rigidi=
===19. Automobile===
Consideriamo per semplicità che il problema sia possibile trattarlo in maniera unidimensionale, ed il corpo rigido è fermo prima dell'urto, mentre il punto materiale ha una velocità iniziale <math>v_o\ </math>. Vi sono vari casi possibili. Usiamo il simbolo <math>M\ </math> per la massa del corpo rigido ed <math>m\ </math> per quella del punto materiale.
<span class="noprint">[[#19. Automobile|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
==Urto completamente anelastico e corpo rigido vincolato==
Per la prima parte del moto.
Questo è il caso più semplice, caso tipico di un proiettile che si conficca su un corpo rigido a distanza <math>h\ </math> dal vincolo.
Detta <math>f_{am}\ </math> la forza motrice di ciascuna ruota motrice e <math>f_{ar}\ </math> la forza di attrito
Il moto finale è un moto rotatorio con velocità angolare <math>\omega\ </math> del sistema complessivo attorno al vincolo.
delle due ruote non motrici.
Definiamo <math>I_o\ </math> il momento di inerzia attorno al vincolo del corpo rigido per l'asse normale al piano formato dalla retta di impatto e il vincolo. Se <math>v_o\ </math> è la velocità iniziale del punto materiale di massa <math>m\ </math>. Nel caso che il punto materiale si muova prima dell'urto con direzione perpendicolare alla congiungente il punto di impatto e il vincolo, dalla conservazione del momento angolare rispetto al vincolo segue che:
:<math>Ma_C=2f_{am}-2f_{ar}\ </math>
:<math>\vec L_{o}=\vec L_{f}\ </math>
Se si indica come crescente la direzione verso cui si muove la macchina, <math>\tau=250\ Nm\ </math> le altre due equazioni cardinali riferite alle ruote motrici e non sono:
Dove <math>|\vec L_{o}|=mv_oh\ </math> e definita <math>\omega\ </math> la velocità angolare subito dopo l'impatto:
:<math>I_r\alpha_m =\tau -f_{am}R\ </math>
:<math>I_r|\alpha_rvec =f_L_{arf}R|=I_o\omega+mv_fh=I_o\omega+m\omega h^2\ </math>
Il punto materiale conficcatosi a distanza <math>h\ </math> dal vincolo ha una velocità pari a <math>v_f=\omega h\ </math>. Quindi sostituendo le espressioni del momento angolare rispetto al vincolo nella legge di conservazione:
ma essendo:
:<math>\alpha_rmv_oh=I_o\omega+m\fracomega {a_c}Rh^2\ </math>
Di conseguenza la velocità angolare vale:
segue che:
:<math>\omega=\frac {v_o/h}{1+I_o/(mh^2)}\ </math>
:<math>ed anche:
 
:<math>\alpha_m=\frac {a_c}R\ </math>
La variazione della quantità di moto del punto materiale vale:
e quindi:
:<math>f_{am}\Delta P_m=m\omega h-mv_o=mv_o\left(\frac 1{\tau1+I_o/(mh^2)}R-1\right)=-\frac {I_ra_Cv_oI_o/h^2}{R1+I_o/(mh^2)}\ </math>
La variazione della quantità di moto del corpo rigido:
Quindi sostituendo, tali espressioni, nella prima equazione:
:<math>Ma_c=\fracDelta P_M=Mv_{2\tauCM}R-=M\fracomega r_{2I_ra_COC}{R^2}-=\frac {2I_ra_CMv_or_{OC}/h}{R1+I_o/(mh^2)}\ </math>
Avendo indicato con <math>r_{OC}\ </math> la distanza tra centro di massa e vincolo e avendo sostituito ad <math>\omega\ </math> l'espressione calcolata prima.
:<math>a_c\left( M+\frac {4I_r}{R^2} \right)=\frac {2\tau }R\ </math>
Possiamo quindi trovare l'impulso <math>J_v\ </math> che al momento dell'impatto il vincolo deve fornire al corpo rigido:
Detta:
:<math>M_eJ_v=M+\fracDelta {4I_r}{R^2}=1018P_m+\Delta kgP_M\ </math>
:<math>J_v=-\frac {v_oI_o/h^2}{1+I_o/(mh^2)}+\frac {Mv_or_{OC}/h}{1+I_o/(mh^2)}=\left(Mr_{OC}-\frac {I_o}h\right)\frac {v_o/h}{1+I_o/(mh^2)}=
Segue che:
:<math>a_c=\frac left(Mr_{2OC}-\taufrac }{M_eRI_o}=1.64h\ m/s^2right)\omega\ </math>
Si nota come l'espressione dentro la parentesi tonda possa cambiare di segno passando da valori di <math>h\ </math> piccoli a grandi e in particolare
:<math>f_{ar}=\frac {I_ra_C}{R^2}=7.3\ N\ </math>
il punto di impatto in cui: .
mentre:
:<math>f_Mr_{amOC}=-\frac {\tauI_o}R+f_{arh_s}=8260\quad N\Rightarrow h_s=\frac {I_o}{Mr_{OC}}\ </math>
Viene chiamato ''sweet spot'': la sua posizione non dipende dal fatto che l'urto sia completamente anelastico o elastico. La posizione di tale punto è importante negli attrezzi di molti sport nel quale si riceve e si rilancia un oggetto quali il tennis o il baseball.
Quindi entrambe molto minori di <math>\mu_sMg/4=2205\ N\ </math>
 
L'energia dissipata nell'urto è pari a:
:<math>E_{ko}-E_{kf}=\frac 12mv_o^2-\frac 12I_o\omega^2+m(\omega h)^2=\frac 12mv_o^2\left(1-\frac 1{1+I_o/(mh^2)}\right)=\frac 12mv_o^2\frac {I_o/(mh^2)}{1+I_o/(mh^2)}\ </math>
 
==Urto elastico e corpo rigido vincolato==
Qui il corpo rigido è vincolato e viene urtato da un punto materiale, che dopo l'urto rimbalza elasticamente senza dissipare energia.
Il moto che ne deriva è un moto rotatorio attorno al vincolo, ma bisogna seguire anche il moto del punto materiale dopo l'urto.
Chiamiamo <math>h\ </math> la distanza tra la retta di impatto ed il centro di massa. Il punto materiale dopo l'urto
ha una velocità <math>v_f\ </math>.
In questo caso si conservano sia l'energia che il momento angolare, usando in parte le stesse notazioni del caso precedente:
:<math>\vec L_{o}=\vec L_{f}\ </math>
:<math>E_{ko}=E_{kf}\ </math>
Che si traducono in:
:<math>mv_oh=mv_1h+I_c\omega\ </math>
:<math>\frac 12mv_o^2=\frac 12mv_f^2+\frac 12 I_o\omega^2\ </math>
Questo sistema di secondo grado ha sia le soluzioni banali: <math>v_f=v_o\ </math>,<math>\omega=0\ </math> cioè non vi è urto!, che quelle cercate, con passaggi matematici non riportati si trova che sono:
:<math>\omega=\frac {2mv_oh}{mh^2+I_o}\ </math>
:<math>v_f=v_o\frac {mh^2/I_o-1}{mh^2/I_o+1}\ </math>
La velocità finale del punto materiale può essere nella stessa direzione iniziale se <math>mh^2>1 \ </math> (cioè se la massa del punto materiale è grande e la distanza di impatto è grande), mentre se il punto materiale ha una piccola massa rimbalza indietro.
 
Notiamo che la reazione vincolare ha una espressione simile al caso completamente anelastico:
:<math>J_v=\Delta P_m+\Delta P_M\ </math>
:<math>J_v=m(v_o-v_f)+M\omega r_{OC}\ </math>
Dalla conservazione del momento angolare si ha che <math>m(v_o-v_f)=-(I_o\omega)/h\ </math>, quindi:
:<math>J_v=-\frac {I_o\omega}h+M\omega r_{OC}=\omega\left(Mr_{OC}-\frac {I_o}h\right)\ </math>
Notiamo che seppure sembra la stessa espressione del caso anelastico, il valore di <math>\omega \ </math> è diverso.
Ma la posizione dello ''sweet spot'' è la stessa:
:<math>h_s=\frac {I_o}{Mr_{OC}}\ </math>
 
==Urto completamente anelastico e corpo rigido non vincolato==
E' il caso in cui non vi è nessun vincolo sul corpo rigido su cui si conficca un oggetto andandogli ad urtare contro.
Il moto che ne deriva dopo l'urto è un moto rototraslatorio.
In questo caso si conservano sia la quantità di moto che il momento angolare, usando in parte le stesse notazioni del caso precedente:
:<math>mvd=I_z\omega\ </math>
:<math>mv=(m+M)v_{CM}\ </math>
Ma in questo caso <math>I_z\ </math> è il momento di inerzia rispetto al centro di massa, <math>M\ </math> è la massa del corpo rigido e <math>v_{CM}\ </math> la velocità del centro di massa dopo l'urto.
 
 
 
 
 
==Urto completamente elastico e corpo rigido non vincolato==
In questo caso il moto che ne deriva è rototraslatorio ed i parametri finali sono tre: la velocità angolare, la velocità del centro di massa del corpo rigido e quella finale del punto materiale. Tali parametri si ricavano dalle tre equazioni di conservazione: Energia, quantità di moto e momento angolare:
:<math>\frac 12mv^2=\frac 12mv_f^2+\frac 12 I_z\omega^2+\frac 12Mv_{CM}^2\ </math>
:<math>mv=mv_f+Mv_{CM}\ </math>
:<math>mvd=I_z\omega+mv_fd\ </math>
 
==[[w:Pendolo_balistico|Pendolo balistico]]==
[[Image:Ballistic pendulum.svg|thumb|300px|Pendolo balistico]]
Il pendolo balistico è un esempio classico di urto: un proiettile di massa <math>m_1\ </math> di velocità ignota <math>v\ </math> viene sparato contro un corpo rigido di massa <math>m_2\ </math> appeso con un filo inestensibile ad un supporto fisso. Il proiettile si conficca nel punto di impatto con un urto completamente anelastico. Si conserva la quantità di moto del sistema, detta <math>V\ </math> la velocità di insieme del proiettile più corpo rigido dopo l'urto:
:<math>m_1v=(m_1+m_2)V\ </math>
Mentre la velocità <math>V\ </math> non è facilmente misurabile, l'altezza massima che viene raggiunta dopo è facilmente misurabile.
Infatti per la conservazione dell'energia, dopo l'urto, la velocità di insieme si ricava dalla massima quota <math>h\ </math> raggiunta eguagliando energia cinetica (subito dopo l'urto) e l'energia potenziale alla massima quota:
:<math>\frac 12(m_1+m_2)V^2=(m_1+m_2)gh\ </math>
da cui:
:<math>V=\sqrt{2gh}\ </math>
Quindi, sostituendo a ritroso nell'equazione della conservazione della quantità di moto nell'urto, si riesce a conoscere la velocità iniziale del proiettile:
:<math>v=\frac {m_1+m_2}{m_1}\sqrt{2gh}\ </math>
Questo metodo è usato in balistica per misura la velocità dei proiettili da cui il nome.
 
 
 
 
==Bibliografia==
* {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}}
 
[[Fisica_classica/Gravitazione| Argomento seguente: Gravitazione]]
 
[[Categoria:Fisica classica|Urti]]
 
{{Avanzamento|100%|}}
La <math>f_{ar}\ </math> è trascurabile per cui possiamo scrivere che quando la macchina viaggia a velocità costante <math>v_0\ </math> si ha che:
:<math>2f_{am}-bv_0^2=0\ </math>
cioè:
:<math>f_{am}=bv_0^2/2=550\ N</math>
Contemporaneamente la velocità angolare delle ruote è pari a:
:<math>\omega_0=v_0/R=157\ rad/s</math>
Inoltre dovendo essere costante tale velocità angolare:
:<math>\tau -f_{am}R=0\ </math>
cioè:
:<math>\tau =f_{am}R=165\ Nm\ </math>
Per cui la potenza erogata dal motore è:
:<math>P =\tau \omega=51\ kW</math>
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox"