Esercizi di fisica con soluzioni/Dinamica dei corpi rigidi: differenze tra le versioni

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aggiunto esercizio 18 e 19
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===18. Un disco su un piano inclinato===
 
Un disco di raggio <math>R=10\ cm</math>, massa <math>M=10\ kg\ </math> su un piano inclinato con angolo <math>\theta\ </math> rispetto alla direzione orizzontale a causa di una coppia <math>\tau\ </math> applicata sul disco, sale (<math>\theta<0\ </math>) lungo un piano inclinato o scende <math>\theta>0\ </math> . Determinare per <math>\tau=5\ Nm\ </math> in salita e per <math>\tau=2\ Nm\ </math> in discesa forza di attrito, accelerazione, accelerazione angolare. L'attrito statico tra piano inclinato e disco è di
<math>\mu_s=0.5\ </math>, l'attrito dinamico è <math>\mu_d=0.48\ </math>.
 
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===19. Automobile===
Una automobile di massa <math>M\ </math> è messa in moto in moto da un motore che esercita un momento
<math>|\tau |\ </math> su ciascuna delle due ruote motrici.
Le ruote hanno un raggio <math>R\ </math> ed un momento di inerzia <math>I_r\ </math>. Determinare la forza di attrito
che agisce sulle due ruote motrici (la strada è piana) in fase di accelerazione della automobile. Immaginare che la forza peso si scarichi in maniera eguale sulle ruote. Il coefficiente di attrito statico tra ruote e strada vale <math>\mu_s=0.9\ </math>.
la condizione sull'attrito statico tra le ruote e il suolo. A causa della forza di attrito viscoso <math>F_v=-bv^2\ </math> la macchina raggiunge
una velocità di regime <math>v_0\ </math> , determinare la coppia sulle ruote motrici e la potenza del motore.
 
(Dati del problema <math>\tau =250\ Nm\ </math>, <math>M=1000\ kg\ </math>, <math>R=0.3\ m\ </math>, <math>I_r=0.4\ kgm^2\ </math>, <math>v_0=170\ km/h\ </math>, <math>b=0.5\ kg/m\ </math> )
 
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== Soluzioni ==
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:<math>f_a\le \mu_s mg\cos{\theta}\ </math>
:<math>\mu_s\ge \frac {g\sin {\theta}-a}{g\cos{\theta}}=0.27\ </math>
 
===18. Un disco su un piano inclinato ===
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Il momento di inerzia vale <math>I=\frac 12MR^2=0.005\ kgm^2\ </math>.
 
Chiamiamo con <math>f_s\ </math> la forza di attrito, le equazioni cardinali sono:
:<math>Ma=f_s+Mg\sin \theta\ </math>
:<math>I\alpha=\tau-f_sR\ </math>
Se la forza di attrito è minore in valore assoluto del valore critico che vale:
:<math>f_{max}=\mu_s Mg\cos \theta\ </math>
se il moto è di puro rotolamento le due equazioni cardinali sono collegate tra di loro, sostituendo nella seconda equazione <math>\alpha=a/R\ </math> diviene:
:<math>I\frac aR=\tau-f_sR\ </math>
Quindi si ha che:
:<math>f_s=\frac {\tau MR/I-Mg\sin \theta}{1+MR^2/I}\ </math>
:<math>a=\frac {\tau R/I-g\sin \theta}{1+MR^2/I}+g\sin \theta\ </math>
:<math>\alpha=\frac {\tau R^2/I-gR\sin \theta}{1+MR^2/I}+gR\sin \theta\ </math>
Mentre se non è verificata la condizione, le due equazioni restano indipendenti, la forza di attrito ha il valore
di:
:<math>|f_d|=Mg\cos \theta\ </math>
 
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!<math>\theta\ ^o </math> !! <math>\tau\ (Nm)\ </math> !! <math>f_{max}\ (N\ )\ </math> !! <math>f_s\ (N\ )\ </math>!! <math>f_d\ (N\ )\ </math> !! <math>a\ (m/s^2\ )\ </math> !! <math>\alpha\ (rad/s^2\ )\ </math> !! <math>Mg\sin \theta\ (N)\ </math>
|-
|style="text-align:center"|0|| 1 ||49||6.7||47||0.67||6.7||0
|-
|style="text-align:center"|0|| 5 ||49||33||47||3.3||33||0
|-
|style="text-align:center"|0|| 10 ||49||66||47||4.9||105||0
|-
|style="text-align:center"|-10||5||48||39||46||2.2||22||-17
|-
|style="text-align:center"|-20||5||46||44.5||44||0.88||8.8||-33
|-
|style="text-align:center"|-25||5||44||47||43||0.12||14||-41
|-
|style="text-align:center"|-30||5||42||50||41||-0.8||18.5||-49
|-
|style="text-align:center"|0||2||49||13.3||47||1.3||13||0
|-
|style="text-align:center"|20||2||46||2.11||44||3.6||36||41
|-
|style="text-align:center"|30||2||42||-3||41||4.6||46||49
|-
|}
 
===19. Automobile===
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Per la prima parte del moto.
Detta <math>f_{am}\ </math> la forza motrice di ciascuna ruota motrice e <math>f_{ar}\ </math> la forza di attrito
delle due ruote non motrici.
:<math>Ma_C=2f_{am}-2f_{ar}\ </math>
Se si indica come crescente la direzione verso cui si muove la macchina, <math>\tau=250\ Nm\ </math> le altre due equazioni cardinali riferite alle ruote motrici e non sono:
:<math>I_r\alpha_m =\tau -f_{am}R\ </math>
:<math>I_r\alpha_r =f_{ar}R\ </math>
ma essendo:
:<math>\alpha_r=\frac {a_c}R\ </math>
ed anche:
:<math>\alpha_m=\frac {a_c}R\ </math>
e quindi:
:<math>f_{am}=\frac {\tau}R-\frac {I_ra_C}{R^2}\ </math>
Quindi sostituendo, tali espressioni, nella prima equazione:
:<math>Ma_c=\frac {2\tau}R-\frac {2I_ra_C}{R^2}-\frac {2I_ra_C}{R^2}\ </math>
:<math>a_c\left( M+\frac {4I_r}{R^2} \right)=\frac {2\tau }R\ </math>
Detta:
:<math>M_e=M+\frac {4I_r}{R^2}=1018\ kg\ </math>
Segue che:
:<math>a_c=\frac {2\tau }{M_eR}=1.64\ m/s^2\ </math>
:<math>f_{ar}=\frac {I_ra_C}{R^2}=7.3\ N\ </math>
mentre:
:<math>f_{am}=-\frac {\tau}R+f_{ar}=826\ N\ </math>
Quindi entrambe molto minori di <math>\mu_sMg/4=2205\ N\ </math>
 
La <math>f_{ar}\ </math> è trascurabile per cui possiamo scrivere che quando la macchina viaggia a velocità costante <math>v_0\ </math> si ha che:
:<math>2f_{am}-bv_0^2=0\ </math>
cioè:
:<math>f_{am}=bv_0^2/2=550\ N</math>
Contemporaneamente la velocità angolare delle ruote è pari a:
:<math>\omega_0=v_0/R=157\ rad/s</math>
Inoltre dovendo essere costante tale velocità angolare:
:<math>\tau -f_{am}R=0\ </math>
cioè:
:<math>\tau =f_{am}R=165\ Nm\ </math>
Per cui la potenza erogata dal motore è:
:<math>P =\tau \omega=51\ kW</math>
 
 
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