Algebra 1/Numeri/Numeri Naturali: differenze tra le versioni

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=== Regole per semplificare le espressioni ===
 
'''I'''  Se un’espressione contiene solo addizioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasi ordine, grazie alla proprietà associativa dell’addizione.
 
{{Algebra1/Esempio|title = Semplificare l’espressione <math>3+2+5</math>.|
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}}
 
'''II''' &emsp;Se un’espressione contiene solo moltiplicazioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasi ordine, anche in questo caso grazie alla proprietà associativa della moltiplicazione.
 
{{Algebra1/Esempio|title = Dovendo moltiplicare <math>2\cdot 3\cdot 4</math> si può procedere in più modi.|
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}}
 
'''III''' &emsp;Se un’espressione, senza parentesi, contiene più sottrazioni, si deve procedere eseguendole nell’ordine in cui sono scritte, la sottrazione infatti non gode né della proprietà associativa né di quella commutativa.
 
{{Algebra1/Esempio|title = Semplificare l’espressione <math>10-6-1</math>.|
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'''IV''' &emsp;Se un’espressione senza parentesi contiene solo addizioni e sottrazioni, le operazioni si devono eseguire nell’ordine con cui sono scritte.
 
{{Algebra1/Esempio|title = Semplificare l’espressione <math>12+6-5-1+2</math>.|
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}}
 
'''V''' &emsp;Se un’espressione senza parentesi contiene solo divisioni, le operazioni si devono eseguire nell’ordine nel quale sono scritte.
 
{{Algebra1/Esempio|title = Semplificare l’espressione <math>360: 12: 3</math>.|
* <math>360:12:3=30:3=10</math>;
* <math>360:12:3=360:4=90</math>, errato!
}}
 
'''VI'''&emsp;Se un’espressione senza parentesi contiene addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e potenze, si eseguono prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, rispettando l’ordine con cui sono scritte, e poi addizioni e sottrazioni, rispettando l’ordine.
 
{{Algebra1/Esempio|title = Semplificare l’espressione <math>18:2:9+5^2-2\cdot3^2:3-1</math>.|
{{Testo centrato|<math>\begin{aligned}
18:2:9+5^2-2\cdot3^2:3-1&=18:2:9+25-2\cdot 9:3-1\\
&=9:9+25-18:3-1\\
&=1+25-6-1\\
&=26-6-1\\
&=20-1\\
&=19.
\end{aligned}</math> }}
}}
 
'''VII'''&emsp;Se l’espressione contiene una coppia di parentesi si devono eseguire prima le operazioni racchiuse nelle parentesi, rispettando le regole precedenti; si eliminano poi le parentesi ottienendo un’espressione senza parentesi alla quale devono essere applicate nuovamente le regole precedenti.
 
{{Algebra1/Esempio|title = Semplificare l’espressione <math>5\cdot(4+3^2-1)</math>.|
{{Testo centrato| <math>\begin{aligned}
5\cdot(4+3^2-1)&=5\cdot(4+9-1)\\
&=5\cdot(13-1)\\
&=5\cdot 12\\
&=60.
\end{aligned}</math> }}
}}
 
'''VIII'''&emsp;Se l’espressione contiene più ordini di parentesi, si eseguono per prima le operazioni racchiuse nelle parentesi più interne, rispettando le regole precedenti, si eliminano le parentesi e si procede considerando la nuova espressione. Se ci sono ancora delle parentesi si eseguono per prima le operazioni contenute nelle parentesi più interne, rispettando le regole precedenti, si eliminano le parentesi e si procede considerando la nuova espressione. E così via.
 
Per facilitare il riconoscimento dei livelli di parentesi, in genere si usano le parentesi tonde <math>(\ldots)</math> per il primo livello (quello più interno), le quadre <math>[\ldots]</math> per il secondo livello e le graffe <math>\{\ldots\}</math> per il terzo livello (quello più esterno). L’uso di parentesi di diverso tipo rende visivamente più evidente l’ordine da seguire nelle operazioni, ma in un’espressione le parentesi possono anche essere soltanto tonde. Ciò accade, per esempio, quando si usano gli strumenti di calcolo elettronico come il computer e la calcolatrice.
 
{{Algebra1/Esempio|title = <math>\big\lbrace\big[3\cdot5-\big(5\cdot2-4\big)\big]\cdot2\big\rbrace:\big[\big(5\cdot6\big):\big(3\cdot5\big)+5:5\big]-\big\lbrace\big(5^2\cdot4\big):10-3^2\big\rbrace+1</math>.|
{{Testo centrato|<math>\begin{aligned}
\big\lbrace\big[3\cdot5-\big(5\cdot2-4\big)\big]\cdot2\big\rbrace&:\big[\big(5\cdot6\big):\big(3\cdot5\big)+5:5\big]-\big\lbrace\big(5^2\cdot4\big):10-3^2\big\rbrace+1\\
&=\big\lbrace\big[3\cdot5-\big(10-4\big)\big]\cdot2\big\rbrace:\big[30:15+5:5\big]-\big\lbrace\big(25\cdot4\big):10-3^2\big\rbrace+1\\
&=\big\lbrace\big[3\cdot5-6\big]\cdot2\big\rbrace:\big[2+1\big]-\big\lbrace\,100:10-9\big\rbrace+1\\
&=\big\lbrace\big[15-6\big]\cdot2\big\rbrace:3-\big\lbrace10-9\big\rbrace+1\\
&=\big\lbrace9\cdot2\big\rbrace:3-\big\lbrace1\big\rbrace+1\\
&=\big\lbrace18\big\rbrace:3-\big\lbrace1\big\rbrace+1\\
&=6-1+1\\
&=6.
\end{aligned}</math> }}
}}