Algebra 1/Numeri/Numeri Naturali: differenze tra le versioni
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Applicando la definizione, il massimo comune divisore tra 18 e 12 si ottiene prendendo tutti i divisori di 18 e di 12:
{|align="center
|align="right"|divisori di 18:
|18, 9, 6, 3, 2, 1;
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Pertanto <math>\text{MCD}(60\text{, }48\text{, }36)=2^2\cdot 3=12</math>.
}}
{{Algebra1/Definizione| Due numeri <math>a</math> e <math>b</math> si dicono ''primi tra loro'' o ''coprimi'' se <math>\text{MCD}(a\text{, }b)=1</math>. }}
{{Algebra1/Esempio|title = Numeri primi tra loro:|
* 12 e 25 sono primi tra loro. Infatti il <math>\text{MCD}(12\text{, }25)=1</math> dato che nelle loro scomposizioni in fattori non si hanno fattori comuni: <math>12=2^2\cdot 3</math> e <math>25=5^2</math>;
* 35 e 16 sono primi tra loro. Infatti <math>35=5\cdot 7</math> e <math>16=2^4</math>. I due numeri non hanno divisori comuni, quindi il loro <math>\text{MCD}=1</math>;
* 11 e 19 sono primi tra loro infatti il <math>\text{MCD}(11\text{, }19)=1</math> dato che 11 e 19 sono entrambi numeri primi;
* 12 e 15 non sono primi tra di loro in quanto hanno 3 come divisore comune.
}}
{{Algebra1/Definizione| Il ''minimo comune multiplo'' di due numeri naturali <math>a</math> e <math>b</math> si indica con <math>\text{mcm}(a\text{, }b)</math> ed è il più piccolo tra tutti i multipli comuni di <math>a</math> e di <math>b</math>. }}
Per calcolare il minimo comune multiplo tra 6 e 15 applicando la definizione occorre calcolare i primi multipli dei due numeri:
{|align="center"
|multipli di 6:
|6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …;
|-
|multipli di 15:
|15, 30, 45, 60, 75, 90, …
|}
Sono multipli comuni 30, 60, 90, … Il più piccolo di essi è 30, ovvero <math>\text{mcm}(6\text{, }15)=30</math>. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si può applicare la seguente procedura:
\text{{Algebra1/Procedura|title = Calcolo del <math>\text{mcm}</math> di due o più numeri naturali:|
# si scompongono i numeri in fattori primi;
# si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il maggiore esponente.
}}
{{Algebra1/Esempio|title = Calcolare il <math>\text{mcm}(60\text{, }48\text{, }36)</math>.|
Scomponendo in fattori i numeri si ha <math>60=2^2\cdot 3\cdot 5</math>, <math>48=2^4\cdot 3</math> e <math>36=2^2\cdot 3^2</math>. Tutti i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con l’esponente più grande con cui compaiono sono: <math>2^4</math>, <math>3^2</math> e <math>5</math>.
Quindi il <math>\text{mcm}</math> è <math>2^4\cdot3^2\cdot5=720</math>. }}
{{Algebra1/Esempio|title = Calcolare il <math>\text{mcm}(20\text{, }24\text{, }450)</math>.|
Scomponendo in fattori si ha: <math>20=2^2\cdot 5</math>, <math>24=2^3\cdot 3</math> e <math>450 = 2\cdot 3^2\cdot 5^2</math>. Moltiplicando i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente si ha <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5^2={1\,800}</math>. }}
{{Algebra1/Esempio|title = Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di <math>315\;\text{cm}</math> per <math>435\;\text{cm}</math> con mattonelle quadrate le più grandi possibili, senza sprecarne alcuna. Quali sono le dimensioni delle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie?|
Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numero intero di volte sia nel 315 sia nel 435, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere un divisore comune di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandi possibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune.
[[File:Algebra1 01 fig009.svg|center|Di supporto ad un esempio di Algebra1/Numeri naturali]]
La soluzione del problema è data quindi dal <math>\text{MCD}(315\text{, }435)=3\cdot 5=15</math>. Le mattonelle devono avere il lato di <math>15\;\text{cm}</math>. Ci vogliono <math>435:15=29</math> mattonelle per ricoprire il lato di <math>435\;\text{cm}</math> e <math>315:15=21</math> mattonelle per ricoprire il lato da <math>315\;\text{cm}</math>. In tutto occorrono <math>29\cdot21=609</math> mattonelle. }}
{{Algebra1/Esempio|title = Alla fermata dei pulman l’autobus rosso passa ogni 20 minuti, l’autobus verde passa ogni 30 minuti e il pulman blu ogni 45 minuti. Se i pulman rosso, verde e blu erano insieme alla fermata delle 8:00, quando si troveranno di nuovo insieme alla stessa fermata?|
Gli autobus si incontrano nei minuti che sono i multipli comuni di 20, 30 e 45. quindi alle 11:00, alle 14:00, alle 17:00 ecc. La prima volta che si incontrano sarà data dal minimo comune multiplo di 20, 30 e 45, quindi dopo 180 minuti. }}
== Espressioni numeriche ==
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