Algebra 1/Numeri/Numeri Naturali: differenze tra le versioni
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== Numeri primi ==
Osserva il seguente schema
{{Testo centrato|<math>{18}\quad\xrightarrow[\text{è divisibile per}]{\text{è multiplo di}}\quad {6}\quad
\xrightarrow[\text{è divisore di}]{\text{è sottomultiplo di}}\quad {18}</math>}}
In esso sono descritte alcune caratteristiche del numero 18 e i suoi legami con il numero 6.
{{Algebra1/Definizione| Chiamiamo ''divisore proprio'' di un numero un suo divisore diverso dal numero stesso e dall’unità. }}
Osserva ora il seguente schema
{{Testo centrato|<math>{31}\quad\xrightarrow[\text{è divisibile per}]{\text{è multiplo di}}\quad {\ldots}\quad \xrightarrow[\text{è divisore di}]{\text{è sottomultiplo di}}\quad {31}</math>}}
Nella casella centrale, al posto dei puntini, puoi inserire soltanto i numeri 31 o 1.
{{Algebra1/Definizione| Un numero <math>p>1</math> si dice ''primo'' se è divisibile solo per se stesso e per l’unità. Un numero naturale maggiore di 1 non primo si dice ''composto''. }}
Per come sono stati definiti i numeri primi e quelli composti si ha:
{{Div col}} 0 non è primo né composto;<br />
1 non è primo né composto;<br />
2 è primo;<br />
3 è primo;<br />
4 è composto;<br />
5 è primo;<br />
6 è composto;<br />
7 è primo;<br />
8 è composto;<br />
9 è composto;<br />
10 è composto;<br />
11 è primo;<br />
12 è composto;<br />
13 è primo;<br />
14 è composto.<br />
…{{Div col end}}
{{Algebra1/Esempio|title = Per verificare se 31 è primo, calcolo il valore approssimato <math>\sqrt{31}\simeq{5,5}</math> e verifico se è divisibile per i numeri primi <math>\le5</math>, cioè 2, 3 e 5. 31 non è divisibile per 2 in quanto è dispari, non è divisibile per 3 poiché la somma delle sue cifre è 4 (che non è divisibile per 3) e non è divisibile per 5 in quanto non finisce per 0 o 5 (sezione [sect:criteri_divisibilita]). Quindi 31 è primo.| }}
{{Algebra1/Esempio|title = Per verificare se 59 è un numero primo calcolo <math>\sqrt{59}\simeq{7,6}</math> e verifico se 59 è divisibile per un numero primo <math>\le 7</math>, cioè per 2, 3, 5 e 7. Eseguendo le divisioni si vede che 59 non è divisibile per nessuno di questi numeri, quindi è primo.|}}
{{Algebra1/Osservazione| Un numero è primo quando non è divisibile per nessun numero primo compreso tra 2 e la radice quadrata del numero stesso.}}
== Criteri di divisibilità ==
Per verificare se un numero è divisibile per i primi numeri interi si possono applicare i seguenti criteri di divisibilità.
'''Divisibilità per 2''' Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra, quella delle unità, è un numero pari, cioè è 0, 2, 4, 6, 8.
* <math>1\,236</math> finisce per 6 quindi è divisibile per 2;
* <math>109\,230</math> finisce per 0 quindi è divisibile per 2;
* <math>10\,923</math> finisce per 3 quindi non è divisibile per 2.
'''Divisibilità per 3'''
Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle cifre che lo compongono è divisibile per 3.
* <math>24</math> è divisibile per <math>3</math>, infatti la somma delle sue cifre è <math>2+4=6</math>, dato che <math>6</math> è divisibile per <math>3</math> anche <math>24</math> è divisibile per <math>3</math>;
* <math>1\,236</math> è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è <math>1+2+3+6=12</math>; 12 è divisibile per 3 dato che la somma delle sue cifre è <math>1+2=3</math>, quindi anche <math>1236</math> è divisibile per 3;
* 31 non è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è <math>3+1=4</math>, dato che 4 non è divisibile per 3 neanche 31 è divisibile per 3.
'''Divisibilità per 5'''
Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5.
* <math>1\,230</math> finisce per 0 quindi è divisibile per 5;
* <math>59\,235</math> finisce per 5 quindi è divisibile per 5;
* <math>109\,253</math> finisce per 3 quindi non è divisibile per 5;
'''Divisibilità per 7'''
Un numero (maggiore di 10) è divisibile per 7 se la differenza (in valore assoluto fra il valore ottenuto dal numero stesso togliendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 7 o un multiplo di 7.
* 252 è divisibile per 7, infatti <math>\left|{25-2\cdot 2}\right|=21</math> è multiplo di 7;
* 49 è divisibile per 7, infatti <math>\left |{4-2\cdot 9}\right |=14</math> è multiplo di 7;
* 887 non è divisibile per 7, infatti <math>\left |{88-2\cdot 7}\right |=74</math> non è divisibile per 7.
'''Divisibilità per 11'''
Un numero è divisibile per 11 se e solo se la differenza, in valore assoluto, fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0, 11 o un multiplo di 11.
* 253 è divisibile per 11, infatti <math>\left|{5-(2+3)}\right|=0</math>;
* <math>9\,482</math> è divisibile per 11, infatti <math>\left|{(9+8)-(4+2)}\right|=11</math>;
* 887 non è divisibile per 11, infatti <math>\left|{8-(8+7)}\right|=7</math>.
== Scomposizione in fattori primi ==
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