Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni
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Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>Md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale).
Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare:
{{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=
Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]].
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Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare:
:<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math>
Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse delle ''z'' del sistema cartesiano di riferimento.
Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo:
:<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math>
e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale:
{{Equazione|eq=<math>L_z = I\omega\!</math>|id=
Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Vi è una altra componente
Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla.
non vi proporzionalità tra <math>\vec L\!</math> e <math>\vec \omega\!</math>. Il momento angolare assiale dipende essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto a quell'asse dipende solo dalla forma del corpo e della posizione dell'asse rispetto al corpo.
L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione.
Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale.
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Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica:
:<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt=
I_z\alpha d\theta=
Dove <math>\vec
Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale:
:<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}
Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale:
:<math>W=-\Delta E_p \!</math>
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