Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni
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[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro| sfera con foro]] la posizione del centro di massa di oggetti non simmetrici.
= Moto rotatorio
Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una semplice generalizzazione del moto di un punto materiale. Il moto rotatorio presenta delle peculiarità per quanto riguarda il momento angolare e l'evoluzione del moto.
Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme di punti materiali]] vale:
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Essendo definito come integrale di grandezze scalari <math>r^2\!</math> e <math>dm\!</math> gode
della proprietà di additività, se calcolato attorno lo stesso asse: cioè se ho un solido complesso posso calcolarmi il momento di inerzia separatamente per le varie parti del corpo rispetto allo stesso asse e poi sommare i vari termini. L'importanza del momento di inerzia appare nella dinamica del moto rotatorio come vedremo nel seguito.
== Momento angolare nel caso generale==▼
[[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]]▼
Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare:▼
:<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math>▼
Senza perdere generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse delle ''z'' del sistema cartesiano di riferimento.▼
Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo▼
<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math>▼
e quindi, la componente del momento angolare l'asse di rotazione vale:▼
{{Equazione|eq=<math>L_z = I\omega\!</math>|id=7}}▼
ed in generale una parte ortogonale all'asse di rotazione la cui direzione cambia durante il moto.▼
Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti.▼
Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale.▼
==Moto rotatorio con asse fisso di simmetria==
Se è applicato un momento di una forza <math>\vec \tau \ </math> rispetto all'asse di rotazione il momento angolare <math>\vec L \ </math> varia e il collegamento tra variazione del momento angolare e momento della forza è dato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] della dinamica: {{Equazione|eq=<math>\vec
Dove <math>\vec \alpha \ </math> è la derivata della velocità angolare anche essa parallela all'asse di rotazione. Vi è quindi una notevole analogia in questo caso tra la II equazione della dinamica (<math>\vec F=m \vec a</math> ), infatti la massa inerziale rappresenta la resistenza alla variazione della traslazione di un corpo, mentre il momento di inerzia è la resistenza alla variazione nel moto rotatorio. Ma bisogna aggiungere che, seppure il momento di inerzia
===Legge oraria===
Se <math>\vec \tau=0\ </math> si ha che:
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:<math>\alpha =\alpha_o</math>
:<math>\omega =\omega_o+\alpha_o t</math>
{{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=
Se <math>\vec \tau\ </math> è variabile, anche il moto circolare è variabile e la soluzione è diversa da questa.
== [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] ==
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Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>Md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale).
Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare:
{{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=
Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]].
▲[[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]]
▲Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare:
▲:<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math>
▲Senza perdere generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse delle ''z'' del sistema cartesiano di riferimento.
▲Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo
▲<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math>
▲e quindi, la componente del momento angolare l'asse di rotazione vale:
▲{{Equazione|eq=<math>L_z = I\omega\!</math>|id=7}}
▲ed in generale una parte ortogonale all'asse di rotazione la cui direzione cambia durante il moto.
▲Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti.
▲Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale.
= Energia cinetica e lavoro=
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