Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni

{{Equazione|eq=<math>\vec R=mM\vec a_{CM}\ </math>|id=1}}

{{Equazione|eq=<math>\vec M\tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}}

Avendo indicato com <math>m\ </math> (minuscolo) la massa del corpo rigido per evitare confusione con il momento delle forze <math>\vec M\ </math>. Abbiamo omesso l'apice ext che è pleonastico poichèpoiché solo le forze e i momenti esterni possono variare lo stato di moto di un corpo rigido.

Il moto di un corpo rigido può essere molto complicato in quanto nel caso generale tutte e sei le grandezze fischefisiche che lo descrivono (la posizione del centro di massa e i tre angoli) possono variare nel tempo e nello spazio. Vi sono due casi particolari più semplici che è possibile considerare per semplificare la trattazione: il moto traslatorio ed il moto rotatorio.

:<math>\vec R=mM\vec a_{CM}\ </math>

La quantità di moto totale del sistema <math>\vec P=mM\vec v_{CM}\ </math> e il momento angolare totale rispetto ad un polo che dista <math>\vec r_{CM}\ </math> dal centro di massa sono grandezze collegate. Infatti si mostra che

:<math>\vec M\tau=\frac{d\vec L}{dt}=\vec r_{CM} \times \frac {d\vec P}{dt}=\vec r_{CM}\times \vec R</math>

:<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec M\tau</math>

{{Equazione|eq=<math>mM=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}}

:<math>mM=\rho V\ </math>

Due esempi su corpi unidimensionali:[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiStatica_dei_corpi_rigidi#163._Mezzo_anello|mezzo anello]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiStatica_dei_corpi_rigidi#174._Quarto_di_anello|quarto di anello]] possono chiarire i concetti.

Alcuni esempi chiariscono meglio:[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiStatica_dei_corpi_rigidi#185._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]],

[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiStatica_dei_corpi_rigidi#196._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiStatica_dei_corpi_rigidi#207._Sfera_con_foro| sfera con foro]] la posizione del centro di massa di oggetti non simmetrici.

Consideriamo un sottile guscio cilindrico di massa mM e raggio R (di spessore trascurabile rispetto ad R) che ruota con velocità angolare <math>\vec \omega \!</math> attorno ad un asse passante per il centro e perpendicolare al piano del cilindro stesso.

In questo caso è facile calcolare il momento angolare totale. Essendo tutti i punti del corpo rigido alla stessa distanza dal centro di rotazione, R, la loro velocità è pari in modulo a <math>v=\omega R\!</math>, quindi il momento angoloreangolare totale vale semplicemente:

:<math>\vec L = mRMR^2\vec\omega \!</math>

Cioè è proporzionale ad <math>\vec \omega \!</math> mediantecon una proprietàgrandezza carateristicacaratteristica del guscio stesso relativa all'asse di rotazione scelto, detto il momento di Inerzia <math>I = mRMR^2\!</math> . Un guscio sottile se l'altezza diventaè trascurabile diventa un anello sottile (spesso il caso più elementare trattato è quello di un anello).

Ritornando al caso particolare di <math>\vec L \ </math> parallelo a <math>\vec \omega \ </math>, cioè quando l'asse attorno a cui avviene la rotazione è un asse di simmetria del corpo. Se è applicato un momento di una forza <math>\vec M\tau \ </math> rispetto all'asse di rotazionrotazione il momento angolare <math>\vec L \ </math> varia e il collegamento tra variazione del momento angolare e momento della forza è dato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] della dinamica:

Se <math>\vec M\tau=0\ </math> si ha che:

Se <math>\vec M\tau=costante\ </math> allora anche la accelerazione angolare è costante:

Se <math>\vec M\tau\ </math> è variabile, anche il moto circolare è variabile e la soluzione è diversa da questa.

Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''mM'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta , è facile mostrare come utilizzando la densità lineare:

:<math>\lambda=\frac mLML \!</math>

:<math>I_{C} = \frac{mM L^2}{12} \,\!</math>

:<math>I_e = \frac{mM L^2}{3} \,\!</math>

:<math>\sigma=\frac mM{\pi r^2} \!</math>

:<math>I=\frac 12 mrMr^2 \!</math>

Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''mM''

:<math>\sigma=\frac mM{4\pi r^2} \!</math>

:<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac m2M2\sin \theta d\theta\!</math>

:<math>dI_z=\frac m2M2\sin \theta d\theta R^2=\frac m2M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math>

:<math>I_z=\frac m2M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac m2M2 r^2\left[

-\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 mrMr^2\!</math>

Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''mM'' ha una densità di:ù

:<math>\rho=\frac {3m3M}{4\pi r^3} \!</math>

A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivaleneteequivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse della zeta attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia.

:<math>dm=\rho dV=\frac {3m3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3m3M}{ r^3} R^2dR\!</math>

:<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3m3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2m2M}{ r^3} R^4dR\!</math>

:<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2m2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25mr25Mr^2\!</math>

| Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''mM'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo .

| <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{mM L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp;

| Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''mM'', spessore trascurabile, con asse al centro .

| <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{mM L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp;

| Anello di raggio ''r'' e massa ''mM'' di spessore trascurabile.

| <math>I_z = mM r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{mM r^2}{2}\,\!</math>

| Disco di raggio ''r'' e massa ''mM''.

| <math>I_z = \frac{mM r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{mM r^2}{4}\,\!</math>

| Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''mM''.

| <math>I = mM r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;

| Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''mM''.

|<math>I_z = \frac{mM r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} mM\left(3r^2+h^2\right)</math>

| Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''mM''.

<math>I_z = \frac{1}{2} mM\left(r_1^2 + r_2^2\right) = mM r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp;

dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzationormalizzato dei raggi;

<math>I_x = I_y = \frac{1}{12} mM\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math>

| [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''mM''.

| <math>I_{solid} = \frac{mM s^2}{20}\,\!</math>

<math>I_{hollow} = \frac{mM s^2}{12}\,\!</math>

| [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''mM''.

| <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5m5M s^2}{9}\,\!</math>

| [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''mM''

| <math>I_z=I_x=I_y = \frac{mM s^2}{5}\,\!</math>

| Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''mM''.

|<math>I = \frac{2 mM r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;

| Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''mM''..

|<math>I = \frac{2 mM r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;

| Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''mM''.

|<math>I = \frac{2 mM}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp;

| Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''mM''.

|<math>I_z = \frac{3}{10}mrMr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}mM\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp;

| [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''mM''.

| <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)mM</math>&nbsp;&nbsp;

| [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''mM''.

|<math>I_a = \frac{mM (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{mM (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{mM (a^2+b^2)}{5}\,\!</math>

| Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''mM''.

|<math>I_c = \frac {mM(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;

| Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''mM''.

|<math>I_h = \frac{1}{12} mM\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} mM\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} mM\left(h^2+w^2\right)</math>

| Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''mM'' con la diagonale maggiore come asse.

|<math>I = \frac{mM\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math>

:<math>I = I_c + mM d^2 \,\!</math>

Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>mdMd^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale).

{{Equazione|eq=<math> I = I_c + mdMd^2\ </math>|id=10}}

Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiDinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]].

Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>mM\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che:

:<math>E_k = \frac 12 (I_c+mdMd^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 mM\omega^2d^2\!</math>

{{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 mv_Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}}

:<math>\frac 12 mv_Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math>

<math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>mM g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>.

:<math>F-f=ma_Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}mM</math>

:<math>\frac {F-f}mM=\frac {R^2 f}I</math>

:<math>f=\frac F{1+mRMR^2/I}\ </math>

:<math>f\le\mu_s N=\mu_smgmu_sMg\ </math>

:<math>F_{max}\le \mu_s mgMg(1+mRMR^2/I)\ </math>

Notare che se viene applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscierebbestriscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non è più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio si ha quindi che il moto diventa rototraslatorio in quanto:

La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attricoattrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è per le ruote delle automobili non motrici se sgonfie.

Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta, anche la forza di attrito cambierebbe di segno, quindi tutte le equazioni rimarreberorimarrebbero eguali, assieme alla condizione sulla forza massima applicabile.

:<math>f=ma_Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fmfM\ </math>

:<math>M\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {MR\tau R-R^2f}I</math>

:<math>\frac fmfM=\frac {MR\tau R-R^2f}I</math>

:<math>f=\frac M{\tau}{R(1+I/mR^2)}\ </math>

:<math>M_\tau_{max}\le\mu_s mgR(1+I/mR^2)\ </math>

Se il momento applicato è maggiore di <math>M_\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano.

La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui i pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attricoattrito statico con il fondo stradale.

[[File:RuotaMF.png|thumb|Ruota che sale su un piano inclinato spinta da un momento M che agisce sul suo asse]]

Il caso qui studiato si ha quando sul corpo agisce contemporaneamente una forza <math>\vec F\ </math>, un momento <math>\vec M\tau\ </math> e la forza di attrito. Nella figura, che è un esempio, <math>\vec F\ </math> è la componente della forza peso nella direzione del piano inclinato <math>|F|=ma_{CM}=mg\sin \theta\ </math>; <math>\vec M\tau\ </math> agisce in senso orario.

:<math>M\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {MR\tau R-R^2f}I\ </math>

:<math>f=\frac {M\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(mRMR^2)}\ </math>

:<math>a_{CM}=\frac 1m \frac {M\tau/R-mgMg\sin \theta}{1+I/(mRMR^2)}\ </math>

Notiamo che se <math>\theta<0\ </math> e <math>M\tau /(R)=-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> il valore di f è nullo: cioè è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito, se poi sempre in discesa <math>M\tau/(mR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. Anche in questo caso si hanno delle condizioni sul momento massimo applicabile in funzione della pendenza.

Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza striciarestrisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare.

La giusticazionegiustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a :

:<math>M_f\tau_f=hN \,\!</math>

[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiDinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]].

:<math>{M} = {-{mgLMgL}}\sin{\theta}</math>

: <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{mgLMgL}}\sin{\theta}</math>

: <math>I=I_z+mLML^2\ </math>

: <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{mgLMgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math>

: <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{mgLMgL}}\theta}{I_z} = 0 </math>

: <math> \Omega = \sqrt{\frac{mgLMgL}{I_z}} </math>

: <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{mgLMgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math>

dove <math>l=I_z/mLML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo.

[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiDinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]].

Nel caso di un momento applicato <math>\vec M\tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza:

: <math> \vec J_MJ_{\tau}=\vec M\tau \Delta t\ </math>

: <math> \vec J_MJ_{\tau}=\Delta \vec L\ </math>

Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>mM=2.05\ kg</math> incernierata ad un

applicato un impulso angolare di <math>J_M\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poichèpoiché il suo momento di inerzia rispetto ad un

estremo è <math>I_c=mM\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_MJ_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e

nel punto più alto <math>E_p=mghMgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(mgMg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro)

La condizione necessaria affinchèaffinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente:

:<math>\vec M\tau=0\ </math>

[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiStatica_dei_corpi_rigidi#121._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Corpi_rigidiStatica_dei_corpi_rigidi#152._Asta|asta orizzontale con un carico]].

{{Avanzamento|100%|618 aprile 20152016}}