Geometrie non euclidee/Il problema del V postulato e la sua storia: differenze tra le versioni

Il libro I degli '''''Elementi'' di Euclide''' contiene una serie di principi su cui viene fondata la sua intera geometria, divisi in definizioni, assiomi e postulati. Il postulato è una (qualsiasi affermazione non dimostrata e non evidente presa per vera in modo da fondare una dimostrazione altrimenti incongruente). Soffermiamoci suiI '''cinque postulati euclidei''' (ritenuti peraltro insufficienti in epoca moderna a fondare in maniera logicamente inattaccabile la geometria, tanto che David Hilbert, nei suoi ''Fondamenti della geometria'' (1899), una sorta di rifondazione della geometria euclidea, ne adottò 23)sono:

Si può notare immediatamente come il '''quinto postulato''' risulti molto diverso dagli altri: in primo luogo per la forma ipotetica (se… allora) che è tipica dei teoremi; in secondo luogo, esso non risulta evidente alla ragione e, nei casi limite, non abbiamo alcuna possibilità di verificare sperimentalmente gli effetti della condizione posta, in quanto essi hanno luogo in una regione di piano esterna a quella finita, cui abbiamo fisicamente accesso. (ciòCiò è tanto vero che in un eventuale piano finito la proposizione risulta falsa).

Lo stesso Euclide si accorse della particolarità di questo postulato, tanto che evita di usarlo, (anche laddove sarebbe possibile)statopossibile, fino al teorema 29, che dice che due rette parallele tagliate da una traversale formano due quartetti di angoli a due a due uguali o supplementari (gli alterni, i corrispondenti e i coniugati), da cui si dimostra che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 gradi e quindi anche il teorema di Pitagora.