Analisi matematica/Integrali dipendenti: differenze tra le versioni

 

:1) '''''con limiti fissi:'''''

 

::<math>a):\qquad \ F(x)=\int_{c}^{d}f(x,y)\ dy;\qquad b):\qquad \Phi(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\ dx</math>

 

Se <math>\ f(x,y)</math> è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un'area semplice <math>\ \Omega</math> tangente al rettangolo definito dalle limitazioni: <math>a\le x\le b,\ c\le y\le d,</math> e se le funzioni <math>\ \alpha(x),\ \beta(x)</math> sono continue e derivabili in <math>\ (a,b),</math> e le funzioni <math>\ \gamma(y),\ \delta(y)</math> sono continue e derivabili in <math>\ (c,d),</math> le funzioni: <math>\ F(x)</math> e <math>\ \Phi(x)</math> sono rispettivamente continue e derivabili in <math>\ (a,b)</math> e <math>\ (c,d).</math> Si ha inoltre:

 

::<math>{dF(x)\over dx}=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}{\partial f\over\partial x}dy-{d\alpha\over dx}f[x,\alpha(x)]+{d\beta\over dx}f[x,\beta (x)],</math>

 

::<math>{d\Phi(y)\over dy}=\int_{\gamma(y)}^{\delta (y)}{\partial f\over\partial y}dx-{d\gamma\over dy}f[\gamma(y),y]+{d\delta\over dy}f[\delta(y),y].</math>