Esercizi di fisica con soluzioni/Statica dei corpi rigidi: differenze tra le versioni
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[[Immagine:Manubrio.png|right|300px]]
===9. Manubrio asimmetrico===
Una asta rigida di massa trascurabile ha agli estremi due sfere piene di ferro <math>\rho_{Fe}=7.8\ g/cm^3\ </math> di raggio <math>R_1=2.5\ cm\ </math> e <math>R_2=4\ cm\ </math>.
Al centro dell'asta un perno (fulcro) nel punto <math>C\ </math> permette la rotazione del sistema. La distanza tra i centri delle sfere ed il fulcro vale <math>\ell/2=5\ cm\ </math>. Un filo trattiene la sfera di massa maggiore. Determinare: a) la massa totale del sistema e la posizione del centro di massa rispetto al punto <math>C\ </math>; b) la reazione vincolare del fulcro.
Il filo si spezza e il sistema incomincia a ruotare, determinare c) l'accelerazione angolare del sistema all'istante iniziale del moto; d) la velocità angolare quando l'asta è verticale.
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== Soluzioni ==
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:<math>x-R-R\tan {\theta}=0\ </math>
:<math>x=0.315\ m=31.5\ cm\ </math>
===9. Manubrio asimmetrico===
<span class="noprint">[[#9. Manubrio asimmetrico|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
La massa della sfera più piccola è:
:<math>M_1=\frac 43\pi R_1^3\rho_{Fe}=0.51\ kg\ </math>
mentre di quella maggiore:
:<math>M_2=\frac 43\pi R_2^3\rho_{Fe}=2.1\ kg\ </math>
Quindi:
:<math>M=M_1+M_2=2.6\ kg\ </math>
Il centro di massa del sistema è a destra del fulcro a distanza:
:<math>x_{CM}=\frac {-M_1\ell/2+M_2\ell/2}M=0.03\ m\ </math>
b)
Per avere equilibrio il momento delle forze rispetto a <math>C\ </math> deve essere nullo quindi, detta <math>T_2\ </math> la tensione del filo, deve essere:
:<math>T_2\frac {\ell}2=Mgx_{CM}\ </math>
quindi:
:<math>T_2=\frac {Mgx_{CM}2}{\ell}=15.5\ N\ </math>
Chiamiamo <math>T_1\ </math> la reazione vincolare del perno (diretta seconda la verticale).
Dovendo essere la risultante delle forze nulle:
:<math>Mg=T_1+T_2\ </math>
:<math>T_1=Mg-T_2=10\ N\ </math>
c)
Il momento di inerzia della sfera di sinistra rispetto al fulcro vale:
:<math>I_1=\frac 25M_1R_1^2+M_1\frac {\ell^2}4=0.0014\ kgm^2\ </math>
Il momento di inerzia della sfera di destra rispetto al fulcro vale:
:<math>I_2=\frac 25M_2R_2^2+M_2\frac {\ell^2}4=0.0066\ kgm^2\ </math>
Quindi il momento di inerzia totale vale:
:<math>I=I_1+I_2=0.008\ kgm^2\ </math>
Quando si spezza il filo dalla seconda equazione cardinale:
:<math>I\alpha =Mgx_{CM}\ </math>
:<math>\alpha =\frac {Mgx_{CM}}I=97\ rad/s^2\ </math>
d)
Nel punto più basso l'energia potenziale del sistema è diventata cinetica:
:<math>\frac 12I\omega^2=Mgx_{CM}\ </math>
:<math>\omega=\sqrt {\frac {2Mgx_{CM}}I}=13.9\ rad/s\ </math>
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