Esercizi di fisica con soluzioni/Statica e dinamica del punto materiale: differenze tra le versioni
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===22. Pendolo con vincolo===
[[Immagine:Pendc.png|right|200px]]
Un punto materiale di massa <math>m=185\ g</math> è appeso ad un filo di lunghezza
<math>\ell=80\ cm</math> sospeso nel punto S. Il peso è inizialmente rilasciato
dal punto A (filo teso orizzontalmente) con velocità nulla <math>\vec{v}_A=0\ </math>.
Dopo un quarto di oscillazione pendolare il punto materiale raggiunge
il punto B (filo verticale) con velocità <math>\vec{v}_B\ </math>. Il filo tocca
un ostacolo (chiodo) di sezione trascurabile conficcato in C e
il moto pendolare prosegue con un arco di raggio <math>\ell'\ </math> centrato in C.
Determinare: a) La velocità <math>\vec{v}_B\ </math> nel punto B; b) La massima lunghezza <math>\ell'\ </math>
(e la corrispondente distanza <math>d\ </math> fra i punti C e S)
affinché la massa raggiunga il punto D con
velocità <math>\vec{v}_D\ </math> sufficiente a mantenere il filo teso;
c) La tensione del filo quando la massa è nel punto B, prima e dopo
il contatto con l'ostacolo;
d) L'impulso complessivo delle forze agenti sulla massa
fra le posizioni A e D.
[Per per risposte c) e d) assumere i valori di <math>\ell'\ </math> trovati nel punto b).]
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== Soluzioni ==
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:<math>P=\frac {W_a}{\tau }=181\ W\ </math>
===22. Pendolo con vincolo===
<span class="noprint">[[#22. Pendolo con vincolo|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
Scegliendo lo zero dell'energia potenziale gravitazionale alla
quota del punto B, le energie meccaniche totali del punto materiale
nei punti A e B sono rispettivamente:
:<math>E_A=mg\ell\simeq 1.45\ {\rm J}\quad{\rm e} \quad E_B=\frac 1 2 m v_B^2\ </math>
Poiché nel tratto A-B l'energia meccanica si conserva
:<math>v_B=\sqrt{2g\ell\ }\simeq3.96~{\rm m/s}\ </math>
b)
Per poter raggiungere il punto D (di equilibrio instabile) con il filo
teso, la velocità <math>v_D\ </math> deve essere tale che la forza centripeta
necessaria per tenere massa in traiettoria sia maggiore del peso,
ovvero <math>m v_D^2/\ell'>mg\ </math> quindi l'energia meccanica totale in D, che
coincide con quella in A, deve risultare:
:<math> E_A=mg\ell=E_D=\frac 1 2 m v_D^2+ mg\,2\ell'> \frac 1 2 mg \ell'+ mg\,2\ell'=
\frac 5 2 mg\ell'\ </math>
Quindi:
:<math>\ell'<\frac 2 5 \ell=32\ cm\ </math>
e, tenendo conto che <math>\ell=d+\ell'\ </math>,
:<math>d>\frac 3 5 \ell=48\ cm\ </math>
c)
La tensione del filo deve sostenere il peso e fornire la forza centripeta necessaria
a mantenere la traiettoria circolare. Con la massa in B questi contributi
sono entrambi verticali e differiscono per il differente
raggio di curvatura della traiettoria la tensione prima:
:<math>T_p=mg+mv_B^2/\ell=3mg\simeq 5.44\ N\ </math>
e dopo:
:<math>T_d=mg+mv_B^2/\ell'=6mg\simeq 10.9\ N\ </math>
d)
L'impulso richiesto è pari alla variazione della quantità di moto
del punto materiale. Applicando il teorema dell'impulso fra le posizioni A e D,
tenendo presente che <math>\vec{v}_A=0\ </math> e <math>v_D=\sqrt{g\ell'}\simeq 1.77\ m/s</math>,
la differenza di quantità di moto che coincide con la quantità
di moto finale è un vettore orizzontale di modulo
<math>p_D=mv_D\simeq 0.328\ kgm/s</math>. diretto da S ad A (quindi da destra a sinistra nella figura)
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Statica e dinamica del punto materiale]]
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