Esercizi di fisica con soluzioni/Leggi di Laplace e Ampère: differenze tra le versioni

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<span class="noprint">[[#10. Nastro percorso da corrente_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===11.Bobina di Helmholtz===
[[Immagine:Helmholtz_coils_650px.png|150px|right]]
 
Si chiamano bobine di Helmholtz due bobine circolari percorsi dalla stessa corrente, concordi coassiali
e a distanza <math>h\ </math>. Si determini il valore di <math>h\ </math> per cui la variazione del campo magnetico al centro sia minima.
Determinare il valore del campo al centro del sistema quando si ha tale minima variazione del campo. Si indica con <math>N\ </math>
il numero di spire di ogni bobina ed <math>I\ </math> la corrente che le percorre.
 
<span class="noprint">[[#11.Bobina di Helmholtz_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
== Soluzioni ==
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Se dividiamo il nastro in strisce sottili di larghezza <math>dx\ </math> percorse da una corrente:
:<math>dI=I\frac {dx}w\ </math>
 
<math>dI=I\frac {dx}w\ </math>
 
Il campo di induzione magnetica, entrante nel piano della figura, generato nel punto <math>P</math> sarà pari a:
:<math>|dB|=\frac {\mu_o}{2\pi x}dI=\frac {\mu_o}{2\pi x}I\frac {dx}w\ </math>
per cui il campo globalmente generato vale:
:<math>|B|=\int_{d-w/2}^{d+w/2}|dB|=\frac {\mu_oI}{2\pi w}\int_{d-w/2}^{d+w/2}\frac {dx}x=
<math>B_a=\frac {\mu_omu_oI}{2\pi w}\ln \frac{d+w/2}{d-w/2}I=\frac {\mu_omu_oI}{2\pi 1.5ww}I\ln 2=6.79\cdot 10^{-5}\ T\ </math>
non molto differente da quello approssimato:
:<math>B_a=\frac {\mu_o}{2\pi d}I=\frac {\mu_o}{2\pi 1.5w}I=6.7\cdot 10^{-5}\ T\ </math>
 
===11.Bobina di Helmholtz===
<math>|dB|=\frac {\mu_o}{2\pi x}dI=\frac {\mu_o}{2\pi x}I\frac {dx}w\ </math>
<span class="noprint">[[#11.Bobina di Helmholtz|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Scelta come origine delle coordinate il centro del sistema, detta <math>z\ </math> la coordinata lungo l'asse
per cui il campo globalmente generato vale:
delle bobine il campo generato in un generico punto sull'asse vale (la combinazione dei campi generati da due spire circolari):
:<math>B_z=\frac {\mu_oINR^2}{2 }\left\{ \frac 1{[R^2+(z-h/2)^2]^{3/2}}+\frac 1{[R^2+(z+h/2)^2]^{3/2}}\right\}=\ </math>
 
Se facciamo la derivata rispetto alla distanza tra le spire:
<math>|B|=\int_{d-w/2}^{d+w/2}|dB|=\frac {\mu_oI}{2\pi w}\int_{d-w/2}^{d+w/2}\frac {dx}x=
:<math>\frac {\mu_oIpartial B_z}{2\pipartial wh}\ln =\frac {d+w/\mu_oINR^2}{d-w/2 }=\left\{ \frac {\mu_oI3(z-h/2)}{[R^2\pi w}\ln +(z-h/2=6.9\cdot 10)^2]^{-5}\ T</math>2}}
-\frac {3(z+h/2)}{[R^2+(z+h/2)^2]^{5/2}}\right\}\ </math>
 
Tale derivata è nulla sempre per <math>z=0\ </math> in quanto al centro si ha un massimo o un minimo o un flesso.
non molto differente da quello approssimato:
Cioè se <math>h\ll R\ </math> mi aspetto un massimo al centro, se <math>h\gg R\ </math> mi aspetto un minimo, quello che voglio trovare quando si ha un flesso (passaggio dal massimo al minimo).
Si ha un flesso quando anche la derivata seconda è nulla al centro, la derivata seconda è:
:<math>\frac {\partial^2 B_z}{\partial h^2}=\frac {\mu_oINR^2}{2 }\left\{
-\frac 3{[R^2+(z-h/2)^2]^{5/2}}+\frac {15(z-h/2)^2}{[R^2+(z-h/2)^2]^{7/2}}-\frac 3{[R^2+(z+h/2)^2]^{5/2}}+\frac {15(z+h/2)^2}{[R^2+(z+h/2)^2]^{7/2}}\right\}
</math>
E per <math>z=0\ </math> (al centro) si riduce a :
:<math>\left.\frac {\partial^2 B_z}{\partial h^2}\right|_{z=0}=\frac {\mu_oINR^2}2 \left\{
-\frac 6{[R^2+h^2/4]^{5/2}}+\frac {30h^2/4}{[R^2+h^2/4]^{7/2}}\right\}=
\frac {\mu_oINR^2}2\frac {-6R^2+6h^2}{(R^2+h^2/4)^{7/2}}\ </math>
che quindi si annulla quando:
:<math>-6R^2+6h^2=0\ </math>
cioè si ha minima variazione del campo se la distanza delle bobine è pari al raggio: <math>h=R\ </math>
 
[[Immagine:Helmholtz_zfield.png|800px|center]]
<math>B_a=\frac {\mu_o}{2\pi d}I=\frac {\mu_o}{2\pi 1.5w}I=6.7\cdot 10^{-5}\ T\ </math>
 
Nella figura è rappresentata la funzione:
:<math>B_z=\frac {\mu_oIN}{2R }\left\{ \frac 1{[1+(z/R-1/2)^2]^{3/2}}+\frac 1{[1+(z/R+1/2)^2]^{3/2}}\right\}=\ </math>
In particolare il campo vale al centro quindi:
:<math>B_z(z=0)={\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 N I}{R}\ </math>
 
 
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