Fisica classica/Campi elettromagnetici nei dielettrici: differenze tra le versioni
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|Libro=Fisica classica
|NomeLibro=Fisica classica
|CapitoloPrecedente=Il vettore di Poynting
|NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Il_vettore_di_Poynting
|CapitoloSuccessivo=Campi elettromagnetici nei conduttori
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=== Campi elettromagnetici nei dielettrici===
Se si riscrivono le equazioni di Maxwell in presenza di materia, immaginando che non vi siano né cariche libere né correnti di conduzione, si arriva anche nei dielettrici, cioè i materiali isolanti, ad una equazione delle onde:
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec E=\frac 1{c'^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>|id=26}}
La differenza è che la velocità della luce ha un valore inferiore a quello del vuoto:
:<math>c'=\frac cn\ </math>
Infatti <math>n\ </math> chiamato indice di rifrazione è sempre maggiore di 1. Finché le onde elettromagnetiche hanno frequenze basse ( minori di qualche 100 di MHz) <math>n\ </math> è semplicemente
:<math>n=\sqrt{\epsilon_r \mu_r}\ </math>
Dove <math>\epsilon_r </math> è la [[w:Costante_dielettrica|costante dielettrica]] relativa (sempre maggiore di 1) e
<math>\mu_r\ </math> è detta [[w:Permeabilit%C3%A0_magnetica|
A frequenze più alte, se si tiene in considerazione la spiegazione microscopica della costante dielettrica relativa, bisogna introdurre la [[w:Polarizzazione_nei_dielettrici:|polarizzazione del dielettrico]]. La Polarizzazione non risponde istantaneamente
Per tenere in conto di entrambi gli aspetti si introduce un indice di rifrazione complesso (indicato con un tilde) :
:<math>\tilde{n}=n-j\kappa\ </math>
Dove la parte reale determina la velocità (di fase) dell'onda alla frequenza considerata,
mentre ''κ'' chiamato coefficiente di estinzione,
La variazione di ''n'' va sotto il nome di dispersione, fenomeno molto evidente in ottica, ma presente in un vasto intervallo di frequenze. L'equazione microscopica che descrive l'azione del campo elettrico sui dipoli elementari di cui è fatta la materia è simile a quella di un [[w:Oscillatore_forzato#Moto_armonico_forzato_con_termine_di_smorzamento|oscillatore armonico forzato con un termine di smorzamento]]. Tale sistema ammette una frequenza di risonanza, al crescere della frequenza, fino a quando il materiale ha un assorbimento ''κ'',
''n'' tende a crescere. In corrispondenza della frequenza di risonanza dove ''κ''
è massimo ''n'' può diventare inferiore all'unità. In pratica si ha che ad esempio l'acqua alle frequenze ottiche ha un indice di rifrazione di appena 1.33 (invece di 9 come ci si aspetterebbe
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Un semplice modello a livello atomico rende conto di cosa avviene. Consideriamo un [[w:atomo|atomo]] di [[w:Numero_atomico|numero atomico]] <math>Z\ </math>, immaginato come una sfera. In assenza di campo elettrico il centro delle cariche positive: [[w:nucleo|nucleo]] coincide con il centro delle cariche negative (la distribuzione degli [[w:elettrone|elettroni]]). Se applichiamo un campo elettrico esterno <math>\vec E\ </math> avrò che l'atomo si deformerà (molto debolmente)
in quanto il campo elettrico esercita una azione eguale ed opposta sul nucleo e sugli elettroni: la deformazione <math>\delta\ </math> sarà proporzionale al campo elettrico applicato con una costante di proporzionalità <math>\alpha\ </math> dipendente dall'atomo considerato, in maniera tale che:
:<math>\alpha \vec \delta =Ze \vec E\ </math>
Dove <math>e\ </math> è la [[w:Carica_elementare|carica elementare]]. Conoscendo la massa dell'atomo possiamo definire con
:<math>\omega_o^2=\frac {\alpha}m\ </math>
Cosicché la deformazione vale:
:<math>\vec \delta =\frac {Ze}{m\omega_o^2}\vec E\ </math>
Quindi si ha che viene indotto un momento di dipolo pari a:
:<math>\vec p=Ze\delta =\frac {(Ze)^2}{m\omega_o^2}\vec E</math>
Se quindi la densità di atomi per unità di volume vale <math>N\ </math> (non si usa il simbolo n per non fare confusione con l'indice di rifrazione):
:<math>\vec P=N\frac {(Ze)^2}{m\omega_o^2}\vec E\ </math>
Essendo anche:
:<math>\vec P=\epsilon_o(\epsilon_r-1)\vec E\ </math>
si ha che:
:<math>\epsilon_r=1+N\frac {(Ze)^2}{\epsilon_o m\omega_o^2}\ </math>
Tanto maggiormente gli atomi sono deformabili tanto maggiore sarà la costante dielettrica relativa, così al tendere di <math>N\ </math> a zero la costante dielettrica relativa tende ad 1. Se il campo elettrico è variabile nel tempo con una forma del tipo:
:<math>E= E_o e^{j\omega t}\ </math>
Notare come per semplicità si sia considerato un caso unidimensionale, per cui si è omesso il simbolo di vettore. L'equazione della dinamica è:
:<math>m\ddot \delta+ m\gamma \dot \delta +m\omega_o^2 \delta =ZeE_o e^{j\omega t}\ </math>
L'equazione è formalmente eguale a quella di un [[w:Oscillatore_forzato#Moto_armonico_forzato_con_termine_di_smorzamento|oscillatore armonico forzato con un termine di smorzamento]] <math>\gamma\ </math>, che tiene conto delle perdite nel dielettrico. Se la soluzione per <math>\delta\ </math> è del tipo:
:<math>\delta =\delta_oe^{j\omega t}\ </math>
che sostituita nell'equazione della dinamica si traduce in:
:<math>-m\omega^2 \delta_o+ j\omega m\gamma \delta_o +m\omega_o^2 \delta_o =ZeE_o \ </math>
da cui:
:<math>\delta_o=\frac {ZeE_o}{m(\omega_o^2-\omega^2+j\omega \gamma )}</math>
Ripetendo il ragionamento precedente, [[w:Mutatis_mutandis|mutatis mutandis]], si ha che:
:<math>\vec P=N\frac {(Ze)^2}{m(\omega_o^2-\omega^2+j\omega \gamma)}\vec E\ </math>
quindi la costante dielettrica relativa è complessa e la sua espressione è:
:<math>\epsilon_r=1+N\frac {(Ze)^2}{\epsilon_o m(\omega_o^2-\omega^2+j\omega \gamma)}\ </math>
[[Immagine:Refractive_index_vs_f.png|300px|left]]
[[Immagine:Extinction_coefficient%2C_onde_em.png|300px|right]]
Di conseguenza anche l'indice di rifrazione è complesso e vale:
:<math>\tilde{n}=\frac 1{\sqrt{\epsilon_r}}=n-j\kappa\ </math>
Con
:<math>n=1+\frac {N(Ze)^2(\omega_o^2-\omega^2)}{\epsilon_o m[(\omega_o^2-\omega^2)^2+\omega^2 \gamma^2)]}
\ </math>
:<math>\kappa=\frac {N(Ze)^2\gamma \omega}{2\epsilon_o m[(\omega_o^2-\omega^2)^2+\omega^2 \gamma^2)]}</math>
Il loro comportamento è mostrato nelle figure a fianco.
Quindi in corrispondenza della frequenza di risonanza si ha che la velocità della luce aumenta, ma
▲Quindi in corrispondenza della frequenza di risonanza si ha che la velocità della luce aumenta, ma contemporamente aumenta vistosamente l'assorbimento.
La rappresentazione esponenziale rende meglio conto del significato di <math>n\ </math> e <math>\kappa\ </math>. Nella rappresentazione esponenziale possiamo scrivere una onda piana monodimensionale propagantesi sull'asse delle <math>x </math>
:<math>\vec E=\vec E_oe^{j\omega (t-x/v)}\ </math>
Ora se al posto di v sostituiamo <math>c/\tilde{n}\ </math>
:<math>\vec E=\vec E_oe^{j\omega [t-(n-j\kappa)x/c]}=\vec E_oe^{-\omega \kappa x/c} e^{j\omega (t-nx/c)}\ </math>
[[Image:Atmosfaerisk_spredning.gif|600px|thumb|left|La
Il termine <math>\omega \kappa /c\ </math> detto coefficiente di assorbimento ha le dimensioni di una lunghezza alla -1. Tanto maggiore è il suo valore più rapidamente si estingue l'ampiezza dell'onda attraversando il mezzo.
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La figura mostra l'opacità dell'[[w:Atmosfera_terrestre|atmosfera]] nel vicino [[w:Radiazione_infrarossa|infrarosso]] (lunghezze d'onda tra 14 microns e 700 nm).
L'opacità è una misura del coefficiente di assorbimento.
Le varie specie presenti nell'atmosfera hanno caratteristiche frequenze di risonanza indicate sull'asse delle ascisse.
[[Categoria:Fisica classica|Campi elettromagnetici nei dielettrici]]
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