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Fisica classica/Correnti alternate: differenze tra le versioni

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m corretta formula 2 (vi era un errore sulle condizioni iniziali)
modificato circuito risonante
Riga 357:
Che è chiaramente una funzione con un massimo pronunciato alla
pulsazione di risonanza, cioè per:
:<math>\omega_o L=\frac 1{\sqrt{LC}omega_o C}\ </math>▼
 
:<math>\omega_o L=\frac 1{\omega_o Csqrt{LC}}\ </math>
 
▲<math>\omega_o=\frac 1{\sqrt{LC}}\ </math>
 
e la cui ampiezza per tale valore della pulsazione vale
semplicemente:
:<math>I=\frac {V_o}R\ </math>▼
 
▲<math>I=\frac {V_o}R\ </math>
 
Lo sfasamento tra corrente e tensione vale:
 
{{Equazione|eq=<math>\varphi=-arctan \frac {\left( \omega L-\frac 1{\omega C}\right)}R\ </math>|id=21}}
 
Tale funzione è nulla alla frequenza di risonanza e varia da
<math>90^o\ </math> a bassa frequenza (in cui domina l'impedenza capacitiva) e
Line 377 ⟶ 370:
Analogamente che nel caso meccanico si definisce [[w:Fattore_di_merito|fattore di merito]]
<math>Q\ </math> la misura del picco di risonanza definito come:
 
{{Equazione|eq=<math>Q=\frac {\omega_o}{\omega_+-\omega_-}=\frac {\omega_o}{\Delta
\omega}\ </math>|id=22}}
Line 383 ⟶ 375:
Dove <math>\omega_+\ </math> ed <math>\omega_-\ </math> sono le due pulsazioni per cui <math>I\ </math> si
ridotto rispetto al valore di picco di <math>\sqrt 2\ </math> (cioè al suo
valore efficace). LaImponendo curva a campana non è simmetrica, ma, se il <math>Q\ </math>che:
:<math>\frac {V_o}{ \sqrt{R^2+\left( \omega_+omega L- 1/(\omega_+omega▼
è elevato, si può approssimare con una curva simmetrica in
maniera che:
:<math>\omega_+-\omega_o\approx \omega_o-\omega_-=\frac {\Delta \omega}2\ </math>▼
Imponendo che:
▲:<math>\frac {V_o}{ \sqrt{R^2+\left( \omega_+ L- 1/(\omega_+
C)\right)^2}}=\frac {V_o}{\sqrt 2 R}\ </math>
Da cui segue che:
:<math>R^2+\left( \omega_+omega L- \frac 1{\omega_+omega C}\right)^2=2R^2\ </math>
:<math>\left( \omega_+omega L-\frac 1{\omega_+omega C}\right)^2=R^2\ </math>
Che ammette due soluzioni (entrambe con <math>\omega \ </math> positivo):
:<math>\omega_+ L-\frac 1{\omega_+ C}=R\ </math>
e:
:<math>\omega_+L\left( 1-\frac 1{\omega_+^2 LC}\right)=R\ </math>▼
:<math>\omega_+- L\left( 1-\frac {\omega_o^2}1{\omega_+^2- C}\right)=-R\ </math>
La prima delle equazioni:
:<math>\omega_+L\left( 1+\frac {\omega_o}{\omega_+}\right)\left( 1-\frac {\omega_o}{\omega_+}\right)=R\ </math>
Ma :<math>1\omega_+^2 -\frac {\omega_o}{RL\omega_+}-\approxfrac 21{LC}=0\ </math> quindi:
Equazione di II grado con due soluzioni ed escludendo la negativa:
:<math>2L\left( \omega_+-\omega_o \right)\approx R\ </math>
▲:<math>\omega_+L\left(= 1-\frac 1R{\omega_2L}+\sqrt{(R/2L)^2 +1/(LC}\right)=R^2}\ </math>
L'altra equazione:
▲:<math>\omega_-^2 +-\omega_o\approxfrac \omega_o-RL\omega_-=-\frac 1{\Delta \omegaLC}2=0\ </math>
Anche questa equazione di II grado con due soluzioni ed escludendo la negativa:
:<math>\omega_-= -\frac R{2L}+\sqrt{(R/2L)^2+1/(LC)^2}\ </math>
Per cui:
:{{Equazione|eq=<math>\Delta \omegaQ=2\left(frac {\omega_o}{\omega_+-\omega_-}=\frac {\omega_o L}R=\right)frac 1{R^2}\sqrt {\frac LC}=\frac RL1{\omega_oC R}\ </math>|id=23}}
e quindi:
{{Equazione|eq=<math>Q=\frac {\omega_o L}R=\frac 1{R^2}\sqrt {\frac LC}=\frac 1{\omega_oC R}\ </math>|id=23}}
Nel caso del circuito risonante parallelo cioè nel circuito
indicato in figura.
Line 430 ⟶ 422:
{{Equazione|eq=<math>Q=R_p\omega_o C\ </math>|id=24}}
 
Cioè il fattore di merito è tanto più alto quanto più basse (<math>R_p\ </math> grande)
sono le perdite ai capi del sistema in parallelo.
 
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Correnti_alternate"