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Fisica classica/Correnti alternate: differenze tra le versioni

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|NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Equazioni_di_Maxwell
}}
= Circuiti in Corrente alternata LRC=
[[Image:HarmOscLCR.png|thumb|200px|right|Un circuito CRL]]
== Segnali periodici ==
Immaginiamo di avere il circuito mostrato in figura con il condensatore inizialmente isolato e con una carica <math>Q_0\ </math>
tra le sue armature. A tempo <math>t=0\ </math> viene chiuso l'interruttore ed, essendoci una induttanza che si oppone alla variazione del flusso, inizialmente la corrente è nulla e poi incomincia a fluire. L'equazione differenziale che fa la fotografia del circuito tra l'istante iniziale e un tempo generico <math>t\ge 0\ </math> è la seguente:
:<math>L\frac {dI(t)}{dt}+RI(t)+\frac {Q(t)}C=0\ </math>
Con <math>I=\frac {dQ}{dt}\ </math>, avendo sottinteso la dipendenza dal tempo della corrente e della carica.
 
[[Image:Tuned circuit animation 3.gif|thumb|upright=1.5|200px|Animazione che mostra come in circuito LC evolvono nel tempo la carica tra le armature del conensatore e la corrente. Di conseguenza l'energia oscilla tra il condensatore e l'induttanza. Un circuito LRC ha un comportameto simile, eccetto che la corrente oscillante decade nel tempo a causa della resistenza presente nel circuito.]]
Una grandezza si dice periodica se:
L'equazione differenziale nella sola variabile Q è quindi:
{{Equazione|eq=<math>L\frac {d^2Q}{dt^2}+R\frac {dQ(t)}{dt}+\frac QC=0\ </math>|id=1}}
Una equazione formalmente eguale a quella dell'[[w:Moto_armonico#Moto_armonico_forzato_semplice|oscillatore armonico smorzato]].
 
La funzione soluzione generale di una equazione differenziale di questo tipo è: <math>Ae^{\alpha t}\ </math> che sostituita nella
<math>f(t)=f(t+T)\ </math>
eq.1:
:<math>L\alpha^2Ae^{\alpha t}+R\alpha Ae^{\alpha t}+\frac 1CAe^{\alpha t}=0\ </math>
Trasforma l'equazione differenziale in una equazione di secondo grado in <math>\alpha \ </math>
:<math>L\alpha^2+R\alpha+\frac 1C=0\ </math>
Le cui soluzioni sono evidentemente:
:<math>\alpha_{1,2}=-\frac R{2L}\pm \sqrt{\frac {R^2}{4L^2}-\frac 1{LC}}\ </math>
Se:
:<math>\frac {R^2}{4L^2}< \frac 1{LC}\ </math>
Le soluzioni sono immaginarie quindi detto: <math>{\omega_0}^2=\frac 1{LC}\ </math> ed <math>\omega^2=\omega_0^2-\frac {R^2}{4L^2}\ </math>
con quindi <math>\omega < \omega_0\ </math>.
:<math>\alpha_{1,2}=-\frac R{2L}\pm j\omega\ </math>
Quindi la soluzione generale del problema è una combinazione lineare delle due soluzioni trovate:
:<math>Q(t)=ae^{-R t/(2L)+j\omega t}+be^{-R t/(2L)-j\omega t}\ </math>
:<math>Q(t)=e^{-R t/(2L)}\left[ae^{j\omega t}+be^{-j\omega t}\right]\ </math>
Usando la [[w:Formula_di_Eulero|formula di Eulero]]:
:<math>Q(t)=e^{-R t/(2L)}\left[a\cos (\omega t)+ja\sin (\omega t)+b\cos (\omega t)-jb\sin ((\omega t)\right]\ </math>
I valori a e b dipendono dalle condizioni iniziali che sono:
:<math>Q(t=0)=Q_o=a+b\qquad I(t=0)=0=j\omega(a-b)\ </math>
Quindi:
{{Equazione|eq=<math>Q(t)=Q_oe^{-R t/(2L)}\cos (\omega t)\ </math>|id=2}}
per <math>R\ll\sqrt{\frac {4L}C}\ </math> si ha che <math>\omega \approx \omega_o\ </math> e l'oscillazione è periodica: l'energia si conserva e passa al alternativamente dal condensatore all'induttanza, come mostrato nell'animazione.
 
Nel caso che:
La quantità <math>T\ </math> è chiamata "periodo". Una grandezza si dice alternata se
:<math>\frac {R^2}{4L^2}> \frac 1{LC}\ </math>
è periodica ed ha valore medio nullo cioè se:
le soluzioni sono reali e smorzate in maniera esponenziale, con esponenti di smorzamento:
:<math>\alpha_{1,2}=-\frac R{2L}\pm \sqrt{\frac {R^2}{4L^2}-\frac 1{LC}}\ </math>
Quella con segno - che viene attenuata più rapidamente, mentre l'altra soluzione mostra una attenuazione più lenta, ma
non si ha nessuna oscillazione, in quanto l'energia più ho meno velocemente viene dissipata nella resistenza.
 
Infine nel caso in cui:
<math>\int_0^Tf(t)dt=0\ </math>
:<math>\frac {R^2}{4L^2}= \frac 1{LC}\ </math>
la soluzione dell'equazione si dimostra essere:
{{Equazione|eq=<math>Q(t)=Q_0\left[1+\frac {R}{2L}t\right]e^{-R t/(2L)}\ </math>|id=3}}
Questo caso viene denominato smorzamento critico: questo è il caso in cui più velocemente viene dissipata l'energia iniziale.
 
= Circuiti in Corrente alternata =
Cioè se all'interno del periodo assume sia valori positivi che
negativi che hanno lo stesso peso. Tutte le grandezze periodiche od
alternate si possono descrivere come sommatorie di funzioni
sinusoidali o cosinusoidali:
 
== Segnali periodici ==
{{Equazione|eq=<math>f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin (n\omega t + \varphi_n)
\ </math>|id=1}}
 
Una grandezza si dice periodica se:
Definendo la pusazione come <math>\omega=2\pi/T\ </math>, e i veri termini della sommatoria si chiamano I, II eccetera armoniche del segnale periodico.
:<math>f(t)=f(t+T)\ </math>
La quantità <math>T\ </math> è chiamata "periodo".
 
Tutte le grandezze periodiche si possono descrivere come sommatorie di funzioni
Tale sviluppo in serie ([[w:Serie di Fourier|serie di Fourier]]) sempre possibile (vi sono
sinusoidali o cosinusoidali cioè mediante [[w:Serie_di_Fourier|serie di Fourier]]:
{{Equazione|eq=<math>f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin (n\omega t + \varphi_n)
\ </math>|id=4}}
Dove <math>\omega=2\pi/T\ </math> è la pulsazione e l'indice <math>n\ </math> è un intero che identifica le varie armoniche.
Oltre alla analisi matematica delle funzioni, vi sono
strumenti elettronici e software che fanno automaticamente tali
operazioni) permettee permettono di trattare separatamente le varie armoniche.
 
Una grandezza alternatasi indice particolare ha <math>a_0\ </math> definitoalternata inse
è periodica ed ha valore medio nullo cioè se:
eq.1 nullo. Per una grandezza alternata dato che il
:<math>\int_t^{t+T}f(t')dt'=0\ </math>
valore medio non ha senso si preferisce definire il valore
Di conseguenzanello sviluppo di Fourier il primo termine <math>a_0=0\ </math>. La funzione all'interno del periodo assume sia valori positivi che negativi che hanno lo stesso peso.
Per una grandezza alternata dato che il
valore medio è identicamente nullo, viene caratterizzata, tra le varie proprietà dal valore
quadratico medio od efficace definito come:
{{Equazione|eq=<math>f_{eff}=\sqrt{\frac 1T\int_0^Tf(t)^2dt}\ </math>|id=5}}
 
In particolare se è presente solo la prima armonica cioè se:
{{Equazione|eq=<math>f_{eff}=\sqrt{\frac 1T\int_0^Tf(t)^2dt}\ </math>|id=2}}
 
In particolare se è presente solo la prima armonica cioè:
 
<math>f(t)=A\sin (\omega t+\varphi)\ </math>
 
Line 49 ⟶ 88:
{{Equazione|eq=<math>f_{eff}=\sqrt{\frac 1T\int_0^TA^2\sin^2(\omega t+\varphi)dt}=
\sqrt{\frac {A^2}T\frac T{2\pi }\int_0^{2\pi } \sin^2(x+\varphi)dx}=\sqrt{\frac {A^2}{2\pi }\frac 12 \int_0^{2\pi } dx}=
\frac A{\sqrt 2}\ </math>|id=36}}
 
==Reti elettriche con generatori cosinusoidali==
Line 74 ⟶ 113:
Se un tale segnale alimenta un circuito composto da sole resistenze
di valore totale <math>R\ </math> il comportamento non è diverso da quanto visto per la legge di Ohm in corrente continua, si ha che il circuito sarà percorso da una corrente:
:<math>I(t)=\frac {V_o}R\cos \omega t\ </math>
 
<math>I(t)=\frac {V_o}R\cos \omega t\ </math>
 
[[Image:GeneratorecorrentealternataconcaricoR.png|thumb|300px|right|Generatore di tensione alternata su un carico resistivo]]
Line 81 ⟶ 119:
Quindi la potenza fornita dal generatore, coincide con quella
dissipata per effetto Joule e istante per istante vale:
:<math>P_f=V(t)I(t)\ </math>
 
<math>P_f=V(t)I(t)\ </math>
 
Cioè in media:
:<math>P_m=\frac 1T\int_0^TP_fdt=I_{eff}V_{eff}\ </math>
Anche se l'elemento non rispetta la legge di Ohm cioè la relazione tra I e V non è lineare, ad esempio una lampadina a basso consumo,
la potenza media elettrica assorbita è sempre eguale al prodotto della corrente e tensione efficace.
 
La ragione quindi per cui si parla di grandezze efficaci, quando si ha che fare con grandezze alternate, è connesso con il fatto che vi sia una corrispondenza per gli effetti termici o di trasfomarzione dell'energia tra corrente e tensioni alternate e continua.
<math>P_m=\frac 1T\int_0^TP_fdt=I_{eff}V_{eff}\ </math>
 
La ragione quindi per cui si parla di grandezze efficaci, quando si ha che fare con grandezze alternate, è connesso con il fatto che vi sia una corrispondenza per gli effetti termici tra corrente alternata e continua.
 
L'aggiunta di condensatori e induttanze cambia sostanzialmente le
Line 180 ⟶ 217:
Le grandezze complesse vengono indicate in grassetto. Applicando la identità di Eulero avrò che:
 
{{Equazione|eq=<math>\mathbf I(t)=(I_oe^{j\varphi })e^{j\omega t}=\mathbf I_ce^{j\omega t}\ </math>|id=47}}
 
La parte dentro parentesi <math>\mathbf I_c\ </math> è un numero complesso non
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complessa <math>Z\ </math> detta impedenza che vale per <math>R\ </math>:
 
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z_R=R\ </math>|id=58}}
 
Per una induttanza:
 
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z_L=j\omega L\ </math>|id=69}}
 
Per una capacità:
 
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z_C=\frac 1{j\omega C}=-\frac j{\omega C}\ </math>|id=710}}
 
Si ha una legge formalmente simile per i tre elementi circuitali
passivi:
 
{{Equazione|eq=<math>\mathbf V(t)=\mathbf I(t)\mathbf Z\ </math>|id=811}}
 
Ma i vari elementi della equazione sono grandezze complesse. L'inverso della impedenza si chiama ammettenza quindi vale:
Line 233 ⟶ 270:
impedenze dei singoli componenti:
 
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z_s=\sum_{i=1}^n\mathbf Z_i\ </math>|id=912}}
 
Mentre se si hanno <math>n\ </math> elementi in parallelo, si comportano come se
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impedenze di ogni singolo elemento:
 
{{Equazione|eq=<math>1/\mathbf Z_p=\sum_{i=1}^n 1/\mathbf Z_i\ </math>|id=1013}}
 
In generale quindi la <math>\mathbf Z\ </math> equivalente di un circuito si compone di
una parte reale (indicata spesso con <math>R\ </math> ) ed una parte immaginaria detta reattanza indicata con <math>X\ </math>:
 
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z=R+jX\ </math>|id=1114}}
 
Riepilogando quanto detto sinora un generatore di f.e.m. alternata:
Line 253 ⟶ 290:
resistenze, induttanze e capacità si può rappresentare come una
impedenza <math>Z\ </math>. La corrente che scorre nel circuito vale:
:<math>I=I_o\cos (\omega t +\varphi)\ </math>
 
<math>I=I_o\cos (\omega t +\varphi)\ </math>
 
con
:<math>I_o=\frac {V_o}{|Z|}\ </math>
 
<math>I_o=\frac {V_o}{|Z|}\ </math>
 
e
{{Equazione|eq=<math>\varphi =-arctg \frac {Z_{imm}}{Z_{reale}}\ </math>|id=15}}
 
{{Equazione|eq=<math>\varphi =-arctg \frac {Z_{imm}}{Z_{reale}}\ </math>|id=12}}
 
Notare come anche:
{{Equazione|eq=<math>Z_{reale}=|Z|\cos \varphi\ </math>|id=16}}
 
{{Equazione|eq=<math>Z_{realeimm}=-|Z|\cossin \varphi\ </math>|id=1317}}
 
{{Equazione|eq=<math>Z_{imm}=-|Z|\sin \varphi\ </math>|id=14}}
 
Esempi dell'uso del metodo simbolico sono al esempio il caso [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate#1. Circuito_RC_in_corrente_alternata|un circuito RC]] ed [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate#2. Circuito_RL_in_corrente_alternata|un circuito RL]].
 
Line 276 ⟶ 304:
Da quanto detto quindi la potenza istantanea fornita dal generatore
in un generico circuito in c.a. vale:
:<math>P(t)=V(t)I(t)=V_o\cos (\omega t)I_o\cos (\omega t +\varphi)\ </math>
 
<math>P(t)=V(t)I(t)=V_o\cos (\omega t)I_o\cos (\omega t +\varphi)\ </math>
 
Applicando le formule di somma del coseno:
:<math>P(t)=V_oI_o[\cos^2 (\omega t)\cos \varphi-\cos (\omega t)\sin (\omega t)
 
<math>P(t)=V_oI_o[\cos^2 (\omega t)\cos \varphi-\cos (\omega t)\sin (\omega t)
\sin \varphi]\ </math>
 
Facendo la media su un periodo, il primo termine
variabile nel tempo:
:<math>\frac 1T\int_0^T \cos^2 (\omega t)dt=\frac 12\ </math>
 
<math>\frac 1T\int_0^T \cos^2 (\omega t)dt=\frac 12\ </math>
 
mentre:
:<math>\frac 1T\int_0^T \cos (\omega t)\sin (\omega t)dt=0\ </math>
 
<math>\frac 1T\int_0^T \cos (\omega t)\sin (\omega t)dt=0\ </math>
 
essendo una funzione a media nulla con periodo <math>T/2\ </math>, come si ricava
facilmente dallo studio della funzione. Quindi la potenza media
fornita dal generatore vale:
{{Equazione|eq=<math>P_m=\frac {I_oV_o }2\cos \varphi=V_{eff}I_{eff}\cos \varphi\ </math>|id=18}}
 
{{Equazione|eq=<math>P_m=\frac {I_oV_o }2\cos \varphi=V_{eff}I_{eff}\cos \varphi\ </math>|id=15}}
 
I contatori di energia elettrica tengono conto della potenza media
fornita dal generatore (cioè del termine in <math>\cos \varphi\ </math>) fino
Line 310 ⟶ 328:
 
[[Image:Circuitorisonanteseriecongeneratore.png|thumb|300px|right|Un elementare circuito risonante serie]]
 
 
Se un generatore di f.e.m alternata viene posto ai capi della serie
Line 319 ⟶ 336:
abbia notevoli analogie con l'equazione di un [[w:Oscillatore_armonico|oscillatore armonico]]
forzato. Infatti la sua equazione caratteristica é:
:<math>L\frac {dI}{dt}+RI+\frac QC=V_o\cos (\omega t)\ </math>
 
<math>L\frac {dI}{dt}+RI+\frac QC=V_o\cos (\omega t)\ </math>
 
 
Una volta che si sostituisca a <math>I\ </math>:
:<math>I=\frac {dQ}{dt}\ </math>
 
<math>I=\frac {dQ}{dt}\ </math>
 
Diviene:
{{Equazione|eq=<math>L\frac {d^2Q}{dt^2}+R\frac {dQ}{dt}+\frac QC=V_o\cos (\omega t)\ </math>|id=19}}
 
{{Equazione|eq=<math>L\frac {d^2Q}{dt^2}+R\frac {dQ}{dt}+\frac QC=V_o\cos (\omega t)\ </math>|id=16}}
 
La cui omogenea non differisce algebricamente dall'equazione
dell'oscillatore armonico :
:<math>m\frac {d^2x}{dt^2}+\lambda \frac {dx}{dt}+kx=0\ </math>
 
Ricordando la definizione, vista all'inizio, di:
<math>m\frac {d^2x}{dt^2}+\lambda \frac {dx}{dt}+kx=0\ </math>
:<math>\omega_o=\frac 1{\sqrt{LC}}\ </math>
 
Infatti analogamente si definisce:
 
{{Equazione|eq=<math>\omega_o=\frac 1{\sqrt{LC}}\ </math>|id=17}}
 
che è analoga dal punto di vista elettrico, alla pulsazione di risonanza meccanica di <math>\omega_o=\sqrt{k/m}\ </math>, essendo <math>L\ </math> l'equivalente elettrico della massa, e <math>1/C\ </math> l'equivalente elettrico della costante di richiamo elastica.
 
Ritornando al mondo elettrico, se l'analizziamo il circuito dal punto di vista del metodo simbolico:
:<math>\mathbf Z=R+j\omega L-\frac j{\omega C}\ </math>
 
<math>\mathbf Z=R+j\omega L-\frac j{\omega C}\ </math>
 
Quindi usando lo stesso metodo visto per i circuiti precedenti
risulta che:
 
{{Equazione|eq=<math>I_o=\frac {V_o}{\sqrt{R^2+\left( \omega L-\frac 1{\omega
C}\right)^2}}\ </math>|id=1820}}
 
Che è chiaramente una funzione con un massimo pronunciato alla
Line 366 ⟶ 369:
Lo sfasamento tra corrente e tensione vale:
 
{{Equazione|eq=<math>\varphi=-arctan \frac {\left( \omega L-\frac 1{\omega C}\right)}R\ </math>|id=1921}}
 
Tale funzione è nulla alla frequenza di risonanza e varia da
Line 376 ⟶ 379:
 
{{Equazione|eq=<math>Q=\frac {\omega_o}{\omega_+-\omega_-}=\frac {\omega_o}{\Delta
\omega}\ </math>|id=2022}}
 
Dove <math>\omega_+\ </math> ed <math>\omega_-\ </math> sono le due pulsazioni per cui <math>I\ </math> si
Line 383 ⟶ 386:
è elevato, si può approssimare con una curva simmetrica in
maniera che:
:<math>\omega_+-\omega_o\approx \omega_o-\omega_-=\frac {\Delta \omega}2\ </math>
 
<math>\omega_+-\omega_o\approx \omega_o-\omega_-=\frac {\Delta \omega}2\ </math>
 
Imponendo che:
:<math>\frac {V_o}{ \sqrt{R^2+\left( \omega_+ L- 1/(\omega_+
 
<math>\frac {V_o}{ \sqrt{R^2+\left( \omega_+ L- 1/(\omega_+
C)\right)^2}}=\frac {V_o}{\sqrt 2 R}\ </math>
 
segue che:
:<math>R^2+\left( \omega_+ L- \frac 1{\omega_+ C}\right)^2=2R^2\ </math>
 
:<math>R^2+\left( \omega_+ L- \frac 1{\omega_+ C}\right)^2=2RR^2\ </math>
:<math>\omega_+ L-\frac 1{\omega_+ C}=R\ </math>
 
:<math>\omega_+L\left( \omega_+ L1-\frac 1{\omega_+^2 CLC}\right)^2=R^2\ </math>
:<math>\omega_+L\left( 1-\frac {\omega_o^2}{\omega_+^2}\right)=R\ </math>
 
:<math>\omega_+ L-\fracleft( 1+\frac {\omega_o}{\omega_+}\right)\left( C1-\frac {\omega_o}{\omega_+}\right)=R\ </math>
 
<math>\omega_+L\left( 1-\frac 1{\omega_+^2 LC}\right)=R\ </math>
 
<math>\omega_+L\left( 1-\frac {\omega_o^2}{\omega_+^2}\right)=R\ </math>
 
<math>\omega_+L\left( 1+\frac {\omega_o}{\omega_+}\right)\left( 1-\frac {\omega_o}{\omega_+}\right)=R\ </math>
 
Ma <math>1+\frac {\omega_o}{\omega_+}\approx 2\ </math> quindi:
:<math>2L\left( \omega_+-\omega_o \right)\approx R\ </math>
 
<math>2L\left( \omega_+-\omega_o \right)\approx R\ </math>
 
Per cui:
:<math>\Delta \omega=2\left( \omega_+-\omega_o \right)=\frac RL\ </math>
 
<math>\Delta \omega=2\left( \omega_+-\omega_o \right)=\frac RL\ </math>
 
e quindi:
{{Equazione|eq=<math>Q=\frac {\omega_o L}R=\frac 1{R^2}\sqrt {\frac LC}=\frac 1{\omega_oC R}\ </math>|id=23}}
 
{{Equazione|eq=<math>Q=\frac {\omega_o L}R=\frac 1{R^2}\sqrt {\frac LC}=\frac 1{\omega_oC R}\ </math>|id=21}}
 
Nel caso del circuito risonante parallelo cioè nel circuito
indicato in figura.
 
[[Image:Circuitorisonanteparallelocongeneratore.png|thumb|300px|right|Un elementare circuito risonante parallelo]]
 
 
La resistenza <math>R_s\ </math> limita la massima corrente che scorre nel
circuito. Se in particolare <math>R_s\ </math> è grande il circuito é
alimentato a corrente di ampiezza costante <math>I_o\ </math>.
:<math>I(t)=I_o\cos \omega t\ </math>
 
<math>I(t)=I_o\cos \omega t\ </math>
 
In queste condizioni il parallelo dei tre elementi circuitali vale:
:<math>\frac 1Z=\frac 1R_p+j\omega C+ \frac 1{j\omega L}\ </math>
 
<math>\frac 1Z=\frac 1R_p+j\omega C+ \frac 1{j\omega L}\ </math>
 
Quindi la tensione ai capi del circuito, usando il metodo simbolico,
vale:
:<math>V=IZ=I_o\frac 1{\frac 1R_p+j\omega C+ \frac 1{j\omega L}}\ </math>
 
<math>V=IZ=I_o\frac 1{\frac 1R_p+j\omega C+ \frac 1{j\omega L}}\ </math>
 
Quindi l'ampiezza della tensione ai capi dei tre elementi in
parallelo vale:
:<math>V_o=\frac {I_o}{\sqrt {1/R_p^2+\left(\omega C-\frac 1{\omega L}
 
<math>V_o=\frac {I_o}{\sqrt {1/R_p^2+\left(\omega C-\frac 1{\omega L}
\right)^2}}\ </math>
 
che è formalmente simile all'eq.18 infatti la
tensione (invece della corrente) ha un massimo per:
:<math>\omega_o C=\frac 1{\omega_o L}\ </math>
 
<math>\omega_o C=\frac 1{\omega_o L}\ </math>
 
la fase è nulla alla frequenza di risonanza e varia tra <math>90^o\ </math> e
<math>-90^o\ </math>. Il fattore di merito definito per la larghezza della curva
di risonanza della tensione vale, con ragionamenti analoghi:
 
{{Equazione|eq=<math>Q=R_p\omega_o C\ </math>|id=2224}}
 
Cioè il fattore di merito è tanto più alto quanto più basse
Line 471 ⟶ 446:
 
L'induttanza del primario, dette <math>N_1\ </math> le sue spire, vale:
:<math>L_1=\frac {\mu_o \mu_r N_1^2S}l\ </math>
 
<math>L_1=\frac {\mu_o \mu_r N_1^2S}l\ </math>
 
L'induttanza del secondario, dette <math>N_2\ </math> le sue spire, vale:
:<math>L_2=\frac {\mu_o \mu_r N_2^2S}l\ </math>
 
<math>L_2=\frac {\mu_o \mu_r N_2^2S}l\ </math>
 
La loro mutua induzione vale:
:<math>M=\frac {\mu_o \mu_r N_1N_2S}l\ </math>
 
<math>M=\frac {\mu_o \mu_r N_1N_2S}l\ </math>
 
Nella forma più semplice il primario è connesso al generatore attraverso una resistenza <math>R_1\ </math>, mentre il secondario viene chiuso attraverso una resistenza <math>R_2\ </math>.
 
Le equazioni che descrivono il precedente circuito, con il metodo simbolico, sono:
 
{{Equazione|eq=<math>\mathbf V_{in}=R_1\mathbf I_1+L_1\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}-M\frac {d\ \mathbf I_2}{dt}\ </math>|id=2325}}
 
{{Equazione|eq=<math>0=R_2\mathbf I_2+L_2\frac {d\ \mathbf I_2}{dt}-M\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}\ </math>|id=2426}}
 
dette <math>\mathbf I_1\ </math> ed <math>\mathbf I_2\ </math> le correnti che scorrono nei due circuiti.
Line 500 ⟶ 468:
<math>I_1\ </math> (come anche la sua derivata temporale).
In questo caso, le due equazioni diventano:
:<math>\mathbf V_{in}\approx L_1\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}\ </math>
 
:<math>0\mathbfapprox V_{in}R_2\approxmathbf L_1I_2-M\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}\ </math>
 
<math>0\approx R_2\mathbf I_2-M\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}\ </math>
 
Definendo <math>\mathbf V_{out}=R_2\mathbf I_2\ </math> si ha che:
:<math>\mathbf V_{out}=M\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}=\frac M{L_1}\mathbf V_{in}=\frac {N_2}{N_1}\mathbf V_{in}\ </math>
 
<math>\mathbf V_{out}=M\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}=\frac M{L_1}\mathbf V_{in}=\frac {N_2}{N_1}\mathbf V_{in}\ </math>
 
cioè il rapporto tra la tensione in uscita e quella in entrata è pari al rapporto tra il numero di spire del secondario e del primario.
Il nome trasformatore dipende proprio dal fatto che trasforma la tensione in entrata nel primario in una tensione ai capi del secondario, nel limte che la resistenza del secondario (<math>R_2\ </math>) non sia troppo bassa, e che possiamo trascurare le perdite (<math>R_1\ </math> ) del primario.
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Correnti_alternate"