Fisica classica/Magnetismo della materia: differenze tra le versioni

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La quantità <math>\chi=\mu_r-1\ </math> è detta la [[w:Suscettività_magnetica|suscettività magnetica]].
 
 
Le equazioni integrali della magnetostatica in presenza di materia (valide anche se i mezzi non sono continui) sono:
:<math>\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math>
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= \sum I_i\ </math>
Dove <math>I_i\ </math> sono le sole correnti impresse.
 
Da questa ultima equazione, segue che il campo magnetico di un solenoide molto lungo ed ideale, con n spire per unità di lunghezza e percorso da una corrente I, indipendentemente dal materiale con cui è riempito vale:
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==Passaggio da un mezzo ad un altro==
Se il mezzo non è continuo possiamo definire i vettori <math>\vec B\ </math> e <math>\vec H\ </math>, ma nonnel possiamopassaggio usareda peruna lororegione all'altra non si possono considerare l'equazioni differenziali, invece ma le equazioni integrale associate continuano a mantenere la loro validità.
 
La prima equazione integrale della magnetostatica in presenza di materia è:
Mentre invece, se non vi è corrente nell'interfaccia tra i due mezzi, considerando una superficie gaussiana cilindrica infinitesima sia per quanto riguarda le basi, parallele alla superficie di separazione e nei due mezzi, un altezza infinitesima di ordine superiore rispetto alle dimensioni lineari delle basi, in ogni caso il flusso del campo <math>\vec B\ </math> è nullo attraverso tutta la superficie chiusa, ma in questo caso particolare, poiché il flusso attraverso le superfici laterali è nullo per la costruzione geometrica (area infinitesima di ordine superiore) anche il flusso uscente dalle basi è in totale nullo e quindi:
:<math>\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math>
Mentre invece, seSe non vi è corrente nell'interfaccia tra i due mezzi, considerandoconsideriamo una superficie gaussiana cilindrica infinitesima siache per quanto riguardaha le basi infinitesime, parallele alla superficie di separazione e nei due mezzi, e eguali tra di loro ed un altezza infinitesima di ordine superiore rispetto alle dimensioni lineari delle basi,. inIl ognicilindro casoè a cavallo tra i due mezzi. ilIl flusso del campo <math>\vec B\ </math> è nullo attraverso tutta la superficie chiusa, ma in questo caso particolare, poiché il flusso attraverso le superfici laterali è nullo per la costruzione geometrica (area infinitesima di ordine superiore) anche il flusso uscente dalle basi è in totale nullo e quindi:
:<math>B_{n1}=B_{n2}\ </math>
come per <math>D_{n1}=D_{n2}\ </math> nei dielettrici.
 
La seconda equazione integrale della magnetostatica riguarda il vettore <math>\vec H\ </math>:
Per quanto riguarda <math>\vec H\ </math> immaginiamo un cammino chiuso che passi da un mezzo (1) ad un altro (2), parallelo alla superficie di separazione, ma che si discosti dal bordo di uno spostamento infinitesimo, se non vi sono correnti impresse nella superficie di separazione:
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= \sum I_i\ </math>
Dove <math>I_i\ </math> sono le sole correnti impresse.
 
Per quanto riguarda <math>\vec H\ </math> immaginiamo unConsideriamoun cammino chiuso che passi da un mezzo (1) ad un altro (2), parallelo alla superficie di separazione, ma che si discosti dal bordo di uno spostamento infinitesimo, se non vi sono correnti impresse nella superficie di separazione:
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}=0\ </math>
Per garantire che sia verificata la equazione precedente occorre che la componente tangenziale del campo elettrico alla superficie di separazione sia eguale nei due mezzi, algebricamente:
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Ma mentre:
:<math>\vec B=\mu_o(\vec H+\vec M)\ </math>
rimane valida. Le relazioni tra i vettori a coppie cambiano di molto, in genere tali vettori non sono paralleli e possono essere addirittura diventare antiparalleli (come si vede nel seguito). Le equazioni di Maxwell in forma locale, come il passaggio da un mezzo all'altro, rimangono valide.
InLa alcunisuscettività casimagnetica sedipende sidall'intensità potesselocale sarebbedei parlarecampi died suscettivitàin magnetica,genere sarebbenon è costante: ha valori molto grande,elevati anchee alcuniper milioni:alcune maleghe parlarearriva dianche soloa <math>\mu_r\chi =10^6</math>. Parlare di sucettività è troppo riduttivo e non esaurisce la descrizione dei fenomeni. Sono materiali ferromagnetici il [[w:ferro|ferro]], il [[w:cobalto|cobalto]], il [[w:nichel|nichel]], numerosi [[w:metalli di transizione|metalli di transizione]] e le loro rispettive leghe.
Anche molte leghe e composti intermetallici mostrano qualche tipo di ordinamento magnetico. L'ordine ferromagnetico si ha solo al di sotto di una certa temperatura detta temperatura di Curie. Tale temperatura difficilmente supera il migliaio di K come appare dalla tabella a fianco.
 
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Partiamo da una temperatura molto alta, quindi superiore alla temperatura di Curie, per cui non vi è nessuna magnetizzazione precedente. Inizialmente
vi è dipendenza lineare tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math>. Se in questa fase riduciamo a 0 la corrente il campione ritorna nella condizione iniziale. Superata questa zona la pendenza della curva aumenta e se annullassimo la corrente il sistema rimarrebbe magnetizzato. Al crescere di <math>\vec H\ </math> la curva cambia curvatura fino a divenire quasi orizzontale, il materiale ha una saturazione della magnetizzazione (i dipoli magnetici risultano quasi tutti allineati al campo come mostrato nella figura). Se adesso viene annullata la corrente rimane una induzione magnetica residua <math>B_r\ </math>. Per annullare la induzione magnetica residua bisogna applicare un [[w:Coercitività|campo coercitivo]] <math>H_c\ </math>, cioè fare circolare quindi con una corrente circolante in direzione opposta a quella con cui si è magnetizzato. Se aumentiamo la corrente inversa la curva percorre una nuova curva di saturazione inversa a quella precedente. La relazione tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> dipende da quello che è avvenuto in precedenza cioè dalla storia del campione.
[[Immagine:B-H_loop.png|thumb|300px|right|Vari possibili cicli di isteresi di un materiale ferromagnetico.]]
 
 
Tale curva ha un chiaro comportamento di isteresi, simile al caso al caso meccanica della deformazione con lo sforzo dei materiali plastici. La magnetizzazione del materiale dipende dalla storia del materiale. I materiali ferromagnetici trovano moltissimi impieghi nella società moderna. I [[w:Magnete_permanente|magneti permanenti]] sono dei materiali ferromagnetici con un ciclo di isteresi molto ampio, in maniera che una volta magnetizzato sia molto difficile invertirne il segno con campi magnetici esterni. I materiali ferromagnetici vengono utilizzati per la registrazione di informazioni, nelle cosiddette memorie magnetiche, gli [[w:Hard_disk|hard disk]] utilizzano l'inversione di magnetizzazione di saturazione per immagazzinare l'informazione. In questo caso la curva di isteresi deve essere non troppo ampia in maniera da permettere di cambiare la magnetizzazione di saturazione con un campo esterno, ma deve essere abbastanza stabile da non essere influenzato da disturbi esterni. Infine vi sono i cosiddetti materiali ferromagnetici dolci, usati negli [[w:Elettromagnete|elettromagneti]], in cui il ciclo di isteresi è molto stretto, in questi materiali vi è una relazione quasi lineare tra H ed B: in questo caso il materiale ferromagnetico genera un campo di induzione magnetica elevato mediante una piccola corrente di controllo: i materiali di questo genere trovano anche applicazione nei [[w:Trasformatore|trasformatori]].
=== I circuiti magnetici ===
[[Immagine:Fields_bar_magnet.png|thumb|200px300px|left|Visualizzazione delle linee del campo di <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> di una sbarretta magnetizzata con <math>\vec M\ </math> uniforme nel suo interno.]]
Nei magneti permanenti la magnetizzazione esiste indipendentemente dal campo magnetico <math>\vec H\ </math> esterno. Cioè una volta magnetizzato in qualche maniera rimane una Magnetizzazione residua. L'esempio in figura chiarisce quanto sia complicato il comportamento di un semplice magnete cioè una sbarretta di materiale ferromagnetico magnetizzato in maniera permanente.
 
Immaginiamo di avere un magnete permanente con forma di sbarretta e in figura è mostrata la sezione. La magnetizzazione supposta uniforme è disegnata in blu. Le linee del campo di <math>\vec B\ </math> (in rosso) sono continue, formano spire chiuse che circondano il magnete e sono simili a quelle prodotte da un solenoide equivalente disegnato sul bordo. Mentre le linee del campo di <math>\vec H\ </math> (in verde) hanno il comportamento simile al campo elettrico prodotto da un dipolo elettrico (agli estremi del magnete) si invertono di direzione passando per le basi del magnete e sono discontinue. Notiamo che mentre i campi <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono paralleli nel vuoto, all'interno del magnete sono antiparalleli, infatti deve essere verificata da una parte la condizione che non essendoci correnti impresse:
:<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= 0\ </math>
Per questa ragione la direzione di <math>\vec H\ </math> cambia andando da fuori a dentro il magnete dalle basi. In ogni caso il campo <math>\vec B\ </math> ha un comportamento molto simile a quello di un solenoide di stessa lunghezza e stesso momento di dipolo.
 
Sulle basi vale la condizione di contnuità:
Ma anche sulle basi:
:<math>B_{n,ferromagnete}=B_{n,vuoto}\ </math>
 
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ma anche per una qualsiasi superficie chiusa che tagli l'anello:
:<math>\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math>
Poichè il flusso sulla superficie esterna di tale superficie è nullo, si ha che
il flusso magnetico è eguale in tutte le sezioni dell'anello. Il comportamento del flusso magnetico è analogo al comportamento della corrente elettrica nei rami dei circuiti. Infatti se l'anello non fosse a sezione costante, mentre il campo sarebbe più intenso nelle strozzature, il flusso di B conserverebbe lo stesso valore. Quindi possiamo esplicitare la circuitazione di <math>\vec H\ </math>:
:<math>NI=\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= \oint_{\ell}\frac {\vec B}{\mu_o \mu_r}\cdot \overrightarrow{d\ell}=
\Phi \oint_{\ell}\frac {d\ell}{\mu_o \mu_rS}=\ </math>
La <math>\mu_r\ </math> rappresenta la costante di proporzionalità tra i due vettori <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math>, non è in genere una costante in quanto dipende a causa della istericità della relazione tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> anche dalla storia del materiale: ma in ogni caso all'interno <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono paralleli e quindi i vettori sono proporzionali. In ogni caso per i materiali feromagneticiferromagnetici <math>\mu_r\ </math> è molto maggiore dell'unità.
In questo caso specifico:
:<math>NI=\Phi \frac{\ell}{\mu_o \mu_rS}\ </math>
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Quindi aprire uno piccolo taglio in un circuito magnetico corrisponde ad aumentare di molto la riluttanza, riducendo grandemente il campo magnetico prodotto. Nella figura accanto è mostrato anche il circuito equivalente elettrico del circuito magnetico. Essendoci due traferri ciascuno è indicato con il suo <math>\R_{G}\ </math>, mentre la riluttanza totale del circuito ferromagnetico vale <math>\R_{c}\ </math>, mentre è stato indicato con <math>F\ </math> il generatore di f.e.m. equivalente: NI.
 
La riluttanza ha le dimensioni di un inverso di una [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday#Induttanza|induttanza]] (che viene introdotta in seguito) e infatti si misura in <math>H^{-1}\ </math>. Ma se conosciamo la riluttanza di un circuito magnetico in cui sono avvolte N spire il legame tra induttanza èe riluttanza è:
:<math>L=\frac {N^2}{\R_{G}}\ </math>