Fisica classica/Il vettore di Poynting: differenze tra le versioni

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Le onde elettromagnetiche trasportano energia come è chiaro nella esperienza pratica, e vedremo che posseggono anche quantità di moto. Per quantificare l'energia trasportata facciamo ricorso alle proprietà elementari della materia poco densa, quindi ci riferiamo a [[w:Gas_perfetto|gas rarefatti]] o [[w:Plasma_%28fisica%29|plasmi]]. La trattazione potrebbe essere fatta in maniera più generale, ma si sarebbe dovute considerare la forma più generale delle equazioni di Maxwell in presenza di materia e questo appesantisce la trattazione. La materia ci serve qui per prevedere la presenza nel volume <math>T\ </math> attraversato dall'onda elettromagnetica di cariche libere <math>q\ </math> indipendenti l'una dall'altra. La [[w:Forza_di_Lorentz|forza di Lorentz]] agente su ogni singola carica <math>q\ </math> con velocità istantanea <math>\vec v(t)\ </math> sarà:
 
{{Equazione|eq=<math>\vec F=q[\vec E(t)+\vec v(t)\times \vec B(t)]</math>|id=171}}
 
Indichiamo genericamente il campo elettromagnetico con <math>\vec E(t)\ </math> e <math>\vec B(t)\ </math>. La potenza media dissipata (la linea orizzontale sopra la formula indica tale operazione di media)
da tale campo elettrico e magnetico variabile nel tempo sarà:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {W}=\overline {q[\vec E(t)+\vec v(t)\times \vec B(t)]\cdot \vec v(t)}=\overline {q\vec E(t)\cdot \vec v(t)}</math>|id=182}}
 
Essendo ovviamente <math>[\vec v(t)\times \vec B(t)]\cdot \vec v(t)\equiv 0\ </math>. La potenza totale mediamente dissipata nel volume <math>T\ </math> dove sono presenti <math>dN=nd\tau \ </math> cariche, <math>n\ </math> è il numero di cariche per unità di volume ed <math>d\tau\ </math> è l'elemento di volume di <math>T\ </math>. L'operazione di integrazione se il volume è sufficientemente grande fa mediare la potenza, per cui elimino il segno di media:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {W}=\int_Nq\vec E(t)\cdot \vec v(t)dN =\int_Tnq\vec E(t)\cdot \vec v(t)d\tau =\int_T \vec E\cdot \vec Jd\tau </math>|id=193}}
 
Tale equazione rappresenta una estensione della [[w:Effetto_Joule|legge di Joule]] in forma differenziale. Dalla IV equazione (11) di [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|Maxwell]]
 
{{Equazione|eq=<math>W=\frac 1{\mu_o} \int_T \vec E\cdot (\vec \nabla \times \vec B)d\tau - \epsilon_o\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=204}}
 
Date due grandezze vettoriali, in questo caso <math>\vec E(t)\ </math> e <math>\vec B(t)\ </math>, si può dimostrare esplicitando la divergenza ed il rotore che:
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:<math>\vec E\cdot (\vec \nabla \times \vec B)=-\vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)+\vec B\cdot (\vec \nabla \times \vec E)</math>
 
sostituendo l'ultima eguaglianza vettoriale nella eq.204 si ha che:
 
{{Equazione|eq=<math>W=-\frac 1{\mu_o} \int_T \vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)d\tau +\frac 1{\mu_o} \int_T \vec B\cdot (\vec \nabla \times \vec E)d\tau -\epsilon_o\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=215}}
 
Se sostituiamo nell'eq.21 la legge di Faraday in forma differenziale (10) di [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell|Maxwell]] <math>\vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}\ </math> si avrà che la potenza media dissipata nel volume vale:
 
{{Equazione|eq=<math>W=-\frac 1{\mu_o} \int_T \vec \nabla \cdot (\vec E\times \vec B)d\tau -\frac 1{\mu_o} \int_T \vec B\cdot \frac {\partial \vec B}{\partial t}d\tau -\epsilon_o\int_T \vec E(t)\cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}</math>|id=226}}
 
Il primo integrale, mediante il teorema di Gauss, si può trasformare in un integrale esteso alla superficie <math>S\ </math> che delimita il volume <math>T\ </math>, mentre invertendo il segno di derivata temporale con il segno di integrale nel secondo e terzo termine e raggruppando si ha che:
 
{{Equazione|eq=<math>W=- \int_S (\frac 1{\mu_o}\vec E\times \vec B)\cdot \vec {dS}-\frac 12 \frac {\partial }{\partial t}\left[ \int_T \left( \frac {B^2}{\mu_o}+\epsilon_o E^2\right) d\tau \right]</math>|id=237}}
 
Il secondo termine è la variazione di energia elettrica e magnetica all'interno del volume (quindi niente di nuovo rispetto alla elettrostatica e la magnetostatica), mentre la grandezza nuova è il vettore di Poynting:
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Quindi se consideriamo una superficie normale alla direzione di propagazione dell'onda <math>\delta I\ </math> in cui è presente una carica <math>\Delta Q\ </math> e se da tale superficie viene assorbita una frazione <math>\Delta |I|\ </math> della onda elettromagnetica che l'attraversa. La potenza assorbita dalle <math>\Delta N\ </math> cariche sarà:
 
{{Equazione|eq=<math>\Delta |I|\Delta S=\Delta N q |v_E||E|\ </math>|id=248}}
 
La forza media esercitata da tale onda sarà data da:
 
{{Equazione|eq=<math>\overline {\vec {F(t)}}=\Delta N q\overline {\vec {E(t)}}+q\overline {\vec {v(t)}\times \vec {B(t)}}=\Delta N q \overline {\vec {v(t)}\times \vec {B(t)}}\ </math>|id=259}}
 
Ma <math>\vec v(t)=\vec v_E\ </math>, e <math>\vec B=\frac 1{c^2}\vec c \times \vec E</math>, quindi possiamo scrivere che:
 
:<math>|\vec {v(t)}\times \vec {B(t)}|=\frac {|v_E||E|}{c}\ </math>
 
con direzione eguale a quella dell'onda elettromagnetica stessa, quindi sostituendo tutte
queste espressioni nella eq. 25 si ha che la pressione <math>p\ </math> vale:
 
:<math>p=\frac {\overline {\vec {F(t)}}}{\Delta S}=\Delta N q\frac {|v_E||E|}{c\Delta S}\ </math>
Ma se sostituiamo in questa espressione la eq.248 si ha che:
 
{{Equazione|eq=<math>p=\frac {|\Delta I|}c\ </math>|id=2610}}
Ma se sostituiamo in questa espressione la eq.24 si ha che:
 
{{Equazione|eq=<math>p=\frac {|\Delta I|}c\ </math>|id=26}}
 
Quindi la pressione esercitata dalla radiazione è pari alla variazione di intensità dell'onda elettromagnetica stessa. Quindi se venisse assorbita totalmente la pressione eserciata sarebbe:
 
Quindi la pressione esercitata dalla radiazione è pari alla variazione di intensità dell'onda elettromagnetica stessa. Quindi se venisse assorbita totalmente la pressione eserciataesercitata sarebbe:
:<math>p=\frac {|I|}c\ </math>
 
Se invece fosse riflessa totalmente la pressione esercitata sarebbe:
 
:<math>p=\frac {2|I|}c\ </math>