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Fisica classica/Onde elettromagnetiche: differenze tra le versioni

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|NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Il_vettore_di_Poynting
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= Equazioni di Maxwell nel vuoto=
== Onde Elettromagnetiche ==
Immaginiamo di avere una regione di spazio in cui il campo elettrico e magnetico, variabili nel tempo. Se la regione è vuota, priva di cariche e di correnti elettriche dovute a cariche in moto. Le equazioni di Maxwell si riducono a:
=== Dalle Equazioni di Maxwell all'equazione delle onde===
Si parte dalle [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Equazioni_di_Maxwell_in_forma_differenziale|equazioni di Maxwell in forma differenziale]] viste precedentemente e si considera il caso in cui non vi sono cariche libere e non vi sono correnti elettriche.
Trattiamo l'elettromagnetismo in assenza di materia.
 
{{Equazione|eq=<math>
\vec \nabla \cdot \vec E=0 </math>|id=1}}
Line 20 ⟶ 17:
</math>|id=4}}
 
==Onde elettromagnetiche piane==
Se facciamo il rotore della eq. 3 e sostituiamo al II membro l'eq.4 otteniamo:
Se non vi è dipendenza dai campi elettrico e magnetico che da una sola coordinata spaziale cartesiana. Assumiamo tale coordinata come asse delle
{{Equazione|eq=<math>\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec E=-\frac {\partial }{\partial t}\vec \nabla \times \vec B=-\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>|id=5}}
<math>x\ </math>. Le derivate parziali in <math>y\ </math> e <math>z\ </math> sono identicamente nulle per cui le equazioni di Maxwell si riducono in forma esplicita a 8 equazioni.
 
Dalla eq.1 e 2:
Ma esiste una identità vettoriale, dato un qualsiasi campo vettoriale <math>\vec A\ </math>
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial E_x}{\partial x}=0</math>|id=5}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial B_x}{\partial x}=0</math>|id=6}}
Le tre componenti dell'eq. 3:
{{Equazione|eq=<math>0=-\frac {\partial B_x}{\partial t}</math>|id=7}}
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial E_z}{\partial x}=-\frac {\partial B_y}{\partial t}</math>|id=8}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial E_y}{\partial x}=-\frac {\partial B_z}{\partial t}</math>|id=9}}
Mentre le tre componenti dell'eq. 4:
{{Equazione|eq=<math>0=\frac {\partial E_x}{\partial t}</math>|id=10}}
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial B_z}{\partial x}=\frac 1{c^2} \frac {\partial E_y}{\partial t}</math>|id=11}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial B_y}{\partial x}=\frac 1{c^2}\frac {\partial E_z}{\partial t}</math>|id=12}}
 
L'equazione 5 e 10 dicono, <math>E_x\ </math>, la componente del campo elettrico nella direzione spaziale assunta come unica in cui avviene la variazione non varia nè nel tempo e nello spazio: quindi non vi è campo che si propaga in tale direzione. Lo stesso, dalle eq. 6 e 7, per quanto riguarda la componente del campo di induzione magnetica, <math>B_x\ </math>, nella stessa direzione.
:<math>\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A== \nabla \left( \nabla \cdot \vec A \right) - \nabla^2 \vec A\ </math>
Rimangono le equazioni: 8,9,11 e 12.
 
Derivando parzialmente rispetto alla x la 8 e al tempo la 12, si ha:
Per cui il primo membro della equazione 5 può essere trasformato grazie a questa identità e al fatto che vale l'eq.1. Quindi l'eq. 5 diviene:
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial^2 E_z}{\partial x^2}=-\frac {\partial^2 B_y}{\partial x\partial t}</math>|id=13}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial^2 B_y}{\partial t\partial x}=\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 E_z}{\partial t^2}</math>|id=14}}
Da cui per il teorema di [[w:Teorema_di_Schwarz|teorema di Schwarz]] (l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente), segue che:
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial^2 E_z}{\partial x^2}=\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 E_z}{\partial t^2}</math>|id=15}}
Cioè la componente del campo elettrico lungo l'asse delle <math>z\ </math> soddisfa l'equazione delle onde.
 
Anche la componente nella direzione normale della induzione magnetica, <math>B_y\ </math>, soddisfa una equazione simile, come si trova derivando parzialmente rispetto alla x la 12 e al tempo la 8:
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec E=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>|id=6}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial^2 B_y}{\partial x^2}=\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 B_y}{\partial t^2}</math>|id=16}}
Ma in realtà le due soluzioni sono non indipendenti. In quanto l'operazione di derivazione parziale ha introdotto delle soluzioni spurie come vedremo meglio in seguito.
 
Derivando parzialmente rispetto alla x la 9 e al tempo la 11 e utilizzando il teorema di Schwarz, si ha:
Senza nessun mezzo siamo arrivati a trovare che le equazioni di Maxwell permettono di avere un campo elettrico che si propaga nello spazio con una legge eguale a quella di tutte le onde. Analogamente dalla eq. 4 facendo il rotore e sostituendo l'eq. 3 al secondo membro:
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial^2 E_y}{\partial x^2}=\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 E_y}{\partial t^2}</math>|id=17}}
 
Anche la componente nella direzione normale della induzione magnetica, <math>B_z\ </math>, soddisfa una equazione simile come si trova derivando, parzialmente rispetto alla x la 11 e al tempo la 9:
{{Equazione|eq=<math>
\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec B{{Equazione|eq=<math>\frac 1{c\partial^2} \frac {\partial B_z}{\partial tx^2}\vec \nabla \times \vec E=-\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec BB_z}{\partial t^2}</math>|id=18}}
Quindi dalle equazioni di Maxwell è possibile una equazione delle onde per le sole componenti trasversali delle onde, la componente lungo
</math>|id=7}}
la direzione di propagazione <math>x\ </math> non è possibile.
 
Apparentemente sono possibili 4 equazioni delle onde indipendenti per <math>E_y\ </math> (eq.17), <math>E_z\ </math> (eq.15), <math>B_y\ </math> (eq.16) e <math>B_z\ </math> (eq.18). In realtà le componenti indipendenti sono solo due. Cioè mentre è possibile avere <math>E_y\ </math> indipendente da <math>E_z\ </math> o <math>B_y\ </math> indipendente da <math>B_z\ </math>.
Per cui il primo membro della eq.7 può essere trasformato grazie alla identità vettoriale di prima ed al fatto che vale l'eq.2. Quindi l'eq. 7 diviene:
 
In realtà le equazioni 8 e 12 da cui siamo partiti esprimono una relazione molto stretta tra <math>E_y(x,t)\ </math> e <math>B_y(x,t)\ </math>, che dovendo soddisfare l'equazioni delle onde, non possono essere che a meno di una costante moltiplicativa che la stessa funzione, cioè solo se:
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec B=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2}</math>|id=8}}
{{Equazione|eq=<math>E_y(x,t)=\pm cB_y(x,t) \ </math>|id=19}}
col segno + o - a seconda che l'onda sia progressiva o regressiva.
 
Analogamente per <math>E_z(x,t)\ </math> e <math>B_z(x,t)\ </math>:
Ricordiamo come:
{{Equazione|eq=<math>E_z(x,t)=\pm cB_z(x,t) \ </math>|id=20}}
==Caso generale==
Le onde elettromagnetiche piane hanno delle caratteristiche generali appena viste che valgono nel vuoto: cioè sono trasversali, localmente due sole componenti sono indipendenti. In realtà applicando l'operatore rotore alla equazione 3 si ha:
{{Equazione|eq=<math>\vec \nabla \times (\vec \nabla \times \vec E)=-\vec \nabla \times \frac {\partial \vec B}{\partial t}=-\frac {\partial} {\partial t}(\vec \nabla \times\vec B)</math>|id=21}}
Ora rotore di un rotore, si dimostra sviluppando l'espressione matematica, che è un vettore che ha componenti x:
:<math>[\vec \nabla \times (\vec \nabla \times \vec E)]_x=-\frac {\partial^2 E_x}{\partial x^2}-\frac {\partial^2 E_y}{\partial x^2}-\frac {\partial^2 E_z}{\partial x^2}+\vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec E)=-\frac {\partial^2 E_x}{\partial x^2}-\frac {\partial^2 E_y}{\partial x^2}-\frac {\partial^2 E_z}{\partial x^2}</math>
in quanto dalla eq.1 la divergenza di <math>\vec E\ </math> è nulla.
Mentre invece sostituendo nella eq. 21 (componente x) l'eq. 4 si ha che:
:<math>-\left. \frac {\partial} {\partial t}(\vec \nabla \times \vec B)\right|_x=-\frac {\partial} {\partial t}\left(\frac 1{c^2} \frac {\partial \vec E_x}{\partial t}\right)=-\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 E_x} {\partial t^2}\ </math>
Quindi unendo queste due espressioni si ha che:
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 E_y}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 E_z}{\partial x^2}=\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 E_x} {\partial t^2}\ </math>|id=22}}
Analogamente per tutte le componenti di <math>\vec E\ </math> ( e anche di <math>\vec B\ </math>) in maniera compatta si scrive che:
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec E=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>|id=23}}
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec B=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2}</math>|id=24}}
 
La conclusione è che dalle equazioni di Maxwell è possibile ricavare un campo elettromagnetico che si propaga nel vuoto senza l'intervento di nessun mezzo. Fino al XIX secolo si ipotizzava che esistesse un mezzo (molto rigido e poco denso) attaverso
:<math>c = { 1 \over \sqrt{ \mu_o \varepsilon_o } } = 2.99792458 \times 10^8 m s^{-1}\ </math>
 
è la velocità della luce nel vuoto.
 
La conclusione è che dalle equazioni di Maxwell è possibile ricavare un campo elettromagneico che si propaga nel vuoto senza l'intervento di nessun mezzo. Fino al XIX secolo si ipotizzava che esistesse un mezzo (molto rigido e poco denso) attaverso
cui si propagavano le onde elettromagnetiche: l'[[w:Etere_%28fisica%29|etere]].
 
NonLe tuttepiù lesemplici proprietàonde delle(non ondesolo elettromagnetiche) sono statele ancora messe in luce, nel seguitoonde cercheremomonocromatiche. diLontani evidenziaredalle megliosorgenti
tali proprietà.
 
=== Proprietà elementari delle onde elettromagnetiche===
La prima proprietà da mettere in evidenza è la natura trasversale delle onde elettromagnetiche infatti apparentemente dalle eq. 6 ed 8 abbiamo 6 componenti indipenti del campo. In realtà se consideriamo un riferimento cartesiamo e scegliamo localmente la direzione dell'asse delle <math>x\ </math> coincidente con la direzione di propagazione. Se la regione di spazio è sufficiente piccola solo le derivate spaziali nella direzione di propagazione sono nulle. In poche parole stiamo facendo l'ipotesi che l'onda sia localmente [[w:Onda_piana|piana]]. Con queste ipotesi sempre verificabili in un ambito locale la eq. 1 diventa:
 
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial E_x}{\partial x}=0</math>|id=9}}
 
La eq. 2:
 
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial B_x}{\partial x}=0</math>|id=10}}
 
Le tre componenti dell'eq. 3:
 
{{Equazione|eq=<math>0=-\frac {\partial B_x}{\partial t}</math>|id=11}}
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial E_z}{\partial x}=-\frac {\partial B_y}{\partial t}</math>|id=12}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial E_y}{\partial x}=-\frac {\partial B_z}{\partial t}</math>|id=13}}
 
Mentre le tre componenti dell'eq. 4
 
 
{{Equazione|eq=<math>0=\frac {\partial E_x}{\partial t}</math>|id=14}}
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial B_z}{\partial x}=\frac 1{c^2} \frac {\partial E_y}{\partial t}</math>|id=15}}
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial B_y}{\partial x}=\frac 1{c^2}\frac {\partial E_z}{\partial t}</math>|id=16}}
 
L'eq. 9 e 14 mostrano come la componente del campo elettrico nella direzione del moto non varia nello spazio e nel tempo, analogamente l'eq. 10 e 11 indicano che la componente del campo magnetico nella direzione del moto non varia nello spazio e nel tempo. In definitiva le uniche onde elettromagnetiche possibili sono trasversali cioè le uniche componenti da considerare sono quelle nella direzione <math>y\ </math> e <math>z\ </math>. Inoltre le eq. 12 e 13 (le eq. 15 e 16 non aggiungono niente) stabiliscono delle precise relazioni tra le componenti mutuamente perpendicolari del campo elettrico e magnetico.
 
Infatti se ad esempio l'espressione della componente <math>z\ </math> della parte elettrica e magnetica dell'onda elettromagnetica mutuamente perpendicolari valgono:
 
:<math>E_z=f(x\pm ct)\ </math> <math>B_y=g(x\pm ct)\ </math>
 
Il segno <math>\pm\ </math> per indicare una onda regressiva o progressiva.
Definendo <math>\xi=x\pm ct\ </math>, <math>f'=df/d\xi\ </math>, <math>g'=dg/d\xi\ </math>. Sostituita nella eq. 12:
 
:<math>f'=\mp cg' </math>
 
Questa non è altro che una [[w:Equazione_differenziale|equazione differenziale]] che integrata seplicemente porta
a:
 
:<math>\frac {E_z}{B_y}=\mp c</math>
 
A meno di una costante additiva (che non ha interesse nel caso delle onde, l'esistenza di onde non nega la possibilità che
nel vuoto ci siano campi elettrici e magnetici costanti). Analogamente usando la eq. 13:
:<math>\frac {E_y}{B_z}=\mp c</math>
 
Questo indica che in una onda elettromagnetica vi sono solo due componenti indipendenti del campo ad esempio le componenti perpendicolari elettriche o le due componenti parallele elettriche e magnetiche.
=== Onde Piane ===
Le più semplici onde (non solo elettromagnetiche) sono le onde piane monocromatiche. Lontani dalle sorgenti
delle onde tutte le onde sono scomponibili nella somma di tali onde. Infatti nella trattazione fatta abbiamo ignorato come si producono le onde elettromagnetiche cioè le sorgenti. Questo è un argomento a parte che sarà trattato in seguito. Una onda elettromagnetica piana viene rappresentata per la parte elettrica da:
{{Equazione|eq=<math>\vec E(\vec r,t)=\vec E_o \cos (\vec k \cdot \vec r-\omega t +\varphi)</math>|id=25}}
 
:<math>\vec E(\vec r,t)=\vec E_o \cos (\vec k \cdot \vec r-\omega t +\varphi)</math>
 
Dove <math>\vec E_o\ </math> è detta l'ampiezza dell'onda e nelle onde piane è costante, <math>\varphi\ </math> è la fase dell'onda, <math>\vec k\ </math> è il vettore d'onda che come per tutte le onde è diretto nella direzione di propagazione.
 
La parte magnetica dell'onda piana si ricava dalla relazione appena vista e qui indicata in maniera sintetica,
indicando con <math>\vec c\ </math> il vettore velocità di propagazione dell'onda:
{{Equazione|eq=<math>\vec B(\vec r,t)=\frac 1{c^2} \vec c \times \vec E(\vec r,t)\ </math>|id=26}}
 
:<math>\vec B(\vec r,t)=\frac 1{c^2} \vec c \times \vec E(\vec r,t)\ </math>
 
Spesso si preferisce usare la rappresentazione esponenziale (indicando come si fà sempre in elettromagnetismo
l'unità immaginaria con <math>j=\sqrt {-1}\ </math>):
{{Equazione|eq=<math>\vec E(\vec r,t)=\vec E_o e^{j\left(\vec k \cdot \vec r-\omega t +\varphi\right)}</math>|id=27}}
 
:<math>\vec E(\vec r,t)=\vec E_o e^{j\left(\vec k \cdot \vec r-\omega t +\varphi\right)}</math>
 
Si dimostra mediante la [[w:Formula_di_Eulero|formula di Eulero]] che la parte reale della rappresentazione esponenziale di una onda piana coincide con la rappresentazione sinusoidale. Una onda piana è una onda che si propaga senza attenuazione, conservando quindi la sua ampiezza, non sfasandosi che in maniera assolutamente prevedibile ed è chiaramente una astrazione utile per la trattazione generale.
Line 120 ⟶ 97:
Consideriamo un altro caso importante quello in cui la sorgente e di conseguenza l'onda abbia una simmetria sferica. In questo caso l'equazione delle onde va riscritta in [[w:Coordinate_polari#Il_sistema_sferico|coordinate polari]] quindi ripartendo dalla equazione delle onde.
Considerando la componente elettrica (ma sarebbe stata identico considerare la componente magnetica):
{{Equazione|eq=<math>\nabla^2 \vec E(\vec r,t)=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}\ </math>|id=28}}
 
:<math>\nabla^2 \vec E(\vec r,t)=\frac 1{c^2} \frac {\partial^2 \vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}\ </math>
 
Se l'onda è sferica, possiamo sostituire <math>\vec E(\vec r,t)\ </math> con <math>\vec E(r,t)\ </math>, cioè è indipendente da <math>\theta\ </math> e <math>\phi\ </math>, ma anche l'espressione di <math>\nabla^2\ </math> si semplifica trasformando [[w:Equazione_delle_one|l'equazione delle onde]] in una forma unidimensionale:
{{Equazione|eq=<math>\frac {\partial^2 [r\vec E( r,t)]}{\partial r^2}=\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 [r\vec E(r,t)]}{\partial t^2}\ </math>|id=29}}
 
:<math>\frac {\partial^2 [r\vec E( r,t)]}{\partial r^2}=\frac 1{c^2}\frac {\partial^2 [r\vec E(r,t)]}{\partial t^2}\ </math>
 
La soluzione più semplice, formalmente simile ad un'onda piana unidimensionale è:
{{Equazione|eq=<math>r\vec E(r,t)=\vec A_o e^{j(kr-\omega t+\varphi)}\ </math>|id=30}}
 
:<math>r\vec E(r,t)=\vec A_o e^{j(kr-\omega t+\varphi)}\ </math>
 
Quindi:
{{Equazione|eq=<math>\vec E(r,t)=\frac {\vec A_o}r e^{j(kr-\omega t+\varphi)}\ </math>|id=31}}
 
:<math>\vec E(r,t)=\frac {\vec A_o}r e^{j(kr-\omega t+\varphi)}\ </math>
 
La grandezza costante vettoriale <math>\vec A_o\ </math> ha le dimensioni di campo elettrico per una lunghezza, quindi allontanandosi l'ampiezza del campo elettrico va con l'inverso della distanza dal centro della distribuzione. La caratteristica trasversale viene ovviamente mantenuta per cui la direzione di <math>\vec A_o\ </math> è perpendicolare alla direzione radiale.
 
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche"